半角の公式を用いて、以下の値を求める問題です。 (1) $\sin \frac{\pi}{12}$ (2) $\cos \frac{7\pi}{12}$ (3) $\tan \frac{3\pi}{8}$

1. 問題の内容

半角の公式を用いて、以下の値を求める問題です。

(1) $\sin \frac{\pi}{12}$

(2) $\cos \frac{7\pi}{12}$

(3) $\tan \frac{3\pi}{8}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \frac{\pi}{12}$ の場合:

半角の公式 $\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ を用います。

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi/6}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$ とします。

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$\sin^2 \frac{\pi}{12} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\frac{\pi}{12}$ は第1象限の角なので、$\sin \frac{\pi}{12} > 0$ です。

よって、

$\sin \frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos \frac{7\pi}{12}$ の場合:

半角の公式 $\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ を用います。

$\frac{7\pi}{12} = \frac{7\pi/6}{2}$ なので、$\theta = \frac{7\pi}{6}$ とします。

$\cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$\cos^2 \frac{7\pi}{12} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\frac{7\pi}{12}$ は第2象限の角なので、$\cos \frac{7\pi}{12} < 0$ です。

よって、

$\cos \frac{7\pi}{12} = -\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan \frac{3\pi}{8}$ の場合:

半角の公式 $\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ を用います。

$\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi/4}{2}$ なので、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ とします。

$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$\tan^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{4 - 2} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{2} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + 2\sqrt{2}$

$\frac{3\pi}{8}$ は第1象限の角なので、$\tan \frac{3\pi}{8} > 0$ です。

よって、

$\tan \frac{3\pi}{8} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan \frac{3\pi}{8} = 1 + \sqrt{2}$