与えられた関数 $y = \frac{x + x^{-1}}{2}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x + x^{-1}}{2}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を整理します。$x^{-1} = \frac{1}{x}$ なので、

$y = \frac{x + \frac{1}{x}}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x^{-1}$

となります。

次に、各項をxで微分します。

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{2}x) = \frac{1}{2}$

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{2}x^{-1}) = \frac{1}{2}(-1)x^{-2} = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{x^2})$

通分して整理すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\frac{x^2 - 1}{x^2}) = \frac{x^2 - 1}{2x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 1}{2x^2}$