$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(3\theta)}{\theta^2}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(3\theta)}{\theta^2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\cos(x)$のマクローリン展開を利用します。

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

よって、

$1 - \cos(3\theta) = 1 - (1 - \frac{(3\theta)^2}{2!} + \frac{(3\theta)^4}{4!} - \frac{(3\theta)^6}{6!} + \dots) = \frac{9\theta^2}{2} - \frac{81\theta^4}{24} + \frac{729\theta^6}{720} - \dots$

したがって、

$\frac{1 - \cos(3\theta)}{\theta^2} = \frac{\frac{9\theta^2}{2} - \frac{81\theta^4}{24} + \frac{729\theta^6}{720} - \dots}{\theta^2} = \frac{9}{2} - \frac{81\theta^2}{24} + \frac{729\theta^4}{720} - \dots$

$\theta \to 0$とすると、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(3\theta)}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} (\frac{9}{2} - \frac{81\theta^2}{24} + \frac{729\theta^4}{720} - \dots) = \frac{9}{2}$

別の解き方：

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(3\theta)}{\theta^2}$ にロピタルの定理を適用します。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(3\theta)}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{3\sin(3\theta)}{2\theta}$

さらにロピタルの定理を適用します。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{3\sin(3\theta)}{2\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{9\cos(3\theta)}{2} = \frac{9\cos(0)}{2} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$