与えられた関数の $n$ 次導関数を求める問題です。ここでは、(1) $x \sin x$ について考えます。

1. 問題の内容

与えられた関数の $n$ 次導関数を求める問題です。ここでは、(1) $x \sin x$ について考えます。

2. 解き方の手順

$f(x) = x \sin x$ の $n$ 次導関数を求めるには、ライプニッツの公式を使います。ライプニッツの公式とは、2つの関数の積の $n$ 次導関数を求める公式で、以下のようになります。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

$u = x$, $v = \sin x$ とおくと、$u$ の導関数は以下のようになります。

$u' = 1$

$u'' = 0$

$u^{(k)} = 0$ for $k \geq 2$

したがって、ライプニッツの公式は次のようになります。

$(x \sin x)^{(n)} = {}_n C_0 x (\sin x)^{(n)} + {}_n C_1 (1) (\sin x)^{(n-1)} + \sum_{k=2}^{n} {}_n C_k (0) (\sin x)^{(n-k)}$

$(x \sin x)^{(n)} = x (\sin x)^{(n)} + n (\sin x)^{(n-1)}$

$\sin x$ の導関数は周期的に $\sin x$, $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$ と変化します。一般に、

$(\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

$(\sin x)^{(n-1)} = \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

したがって、

$(x \sin x)^{(n)} = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

$(x \sin x)^{(n)} = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$(x \sin x)^{(n)} = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$