関数 $f(x) = e^{-x}(\cos x + \sin x)$ ($x > 0$) について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ が極値をとる $x$ の値を小さい順に $x_1, x_2, x_3, \dots$ とするとき、$x_n$ の値を求めよ。 (2) $f(x_n)$ の値を求めよ。 (3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n)$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-x}(\cos x + \sin x)$ ($x > 0$) について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ が極値をとる $x$ の値を小さい順に $x_1, x_2, x_3, \dots$ とするとき、$x_n$ の値を求めよ。

(2) $f(x_n)$ の値を求めよ。

(3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の極値を求める。

$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = -e^{-x}(\cos x + \sin x) + e^{-x}(-\sin x + \cos x) = -2e^{-x} \sin x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$x > 0$ なので、$\sin x = 0$ より $x = n\pi$ ($n$ は自然数)。

$x_n = n\pi$

(2) $f(x_n)$ を求める。

$f(x_n) = e^{-n\pi}(\cos(n\pi) + \sin(n\pi)) = e^{-n\pi}(\cos(n\pi) + 0) = e^{-n\pi}(-1)^n = (-1)^n e^{-n\pi}$

(3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n)$ を求める。

$\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n e^{-n\pi} = \sum_{n=1}^{\infty} (-e^{-\pi})^n$

これは初項 $-e^{-\pi}$、公比 $-e^{-\pi}$ の等比数列の無限和である。

公比の絶対値 $|-e^{-\pi}| = e^{-\pi} < 1$ なので、無限等比級数は収束し、その和は、

$\frac{-e^{-\pi}}{1 - (-e^{-\pi})} = \frac{-e^{-\pi}}{1 + e^{-\pi}} = \frac{-1}{e^{\pi} + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $x_n = n\pi$

(2) $f(x_n) = (-1)^n e^{-n\pi}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n) = \frac{-1}{e^{\pi} + 1}$