媒介変数 $t$ を用いて $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ で表される曲線 $C$ を考える。ただし，$0 < t < \frac{\pi}{2}$ とする。曲線 $C$ 上の点 $P$ における接線と $x$ 軸, $y$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とする。 (1) 曲線 $C$ 上の $t = \frac{\pi}{3}$ に対応する点 $P$ における接線の傾きを求めよ。 (2) 線分 $AB$ の長さは点 $P$ の位置に関係なく一定であることを示せ。 (3) 各 $t$ ($0 < t < \frac{\pi}{2}$) に対し, 上記のように2点 $A, B$ を与え, さらに点 $Q(3\sin t, 2\cos t)$ を定める。$\triangle ABQ$ の面積を $S(t)$ とするとき, $S(t)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ で表される曲線 $C$ を考える。ただし，$0 < t < \frac{\pi}{2}$ とする。曲線 $C$ 上の点 $P$ における接線と $x$ 軸, $y$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とする。

(1) 曲線 $C$ 上の $t = \frac{\pi}{3}$ に対応する点 $P$ における接線の傾きを求めよ。

(2) 線分 $AB$ の長さは点 $P$ の位置に関係なく一定であることを示せ。

(3) 各 $t$ ($0 < t < \frac{\pi}{2}$) に対し, 上記のように2点 $A, B$ を与え, さらに点 $Q(3\sin t, 2\cos t)$ を定める。$\triangle ABQ$ の面積を $S(t)$ とするとき, $S(t)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 接線の傾きを求める。

まず, $\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算する。

$\frac{dx}{dt} = -3\cos^2 t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3\sin^2 t \cos t$

よって, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\sin^2 t \cos t}{-3\cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$

$t = \frac{\pi}{3}$ のとき, $\frac{dy}{dx} = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$

(2) 線分 $AB$ の長さが一定であることを示す。

点 $P$ の座標は $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ である。

接線の方程式は

$y - \sin^3 t = -\tan t (x - \cos^3 t)$

$y - \sin^3 t = -\frac{\sin t}{\cos t} (x - \cos^3 t)$

$y\cos t - \sin^3 t \cos t = -x\sin t + \cos^3 t \sin t$

$x\sin t + y\cos t = \sin t \cos t (\sin^2 t + \cos^2 t)$

$x\sin t + y\cos t = \sin t \cos t$

$x$ 切片 $A$ は $y=0$ より $x\sin t = \sin t \cos t$ から $x = \cos t$ であり, $A(\cos t, 0)$ である。

$y$ 切片 $B$ は $x=0$ より $y\cos t = \sin t \cos t$ から $y = \sin t$ であり, $B(0, \sin t)$ である。

$AB = \sqrt{(\cos t - 0)^2 + (0 - \sin t)^2} = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = \sqrt{1} = 1$

したがって, 線分 $AB$ の長さは常に 1 であり, 点 $P$ の位置に関係なく一定である。

(3) $S(t)$ の最小値を求める。

$A(\cos t, 0)$, $B(0, \sin t)$, $Q(3\sin t, 2\cos t)$

$S(t) = \frac{1}{2} | \cos t ( \sin t - 2\cos t) + 0 (2\cos t - 0) + 3\sin t (0 - \sin t)|$

$S(t) = \frac{1}{2} | \cos t \sin t - 2\cos^2 t - 3\sin^2 t |$

$S(t) = \frac{1}{2} | \cos t \sin t - 2\cos^2 t - 3(1 - \cos^2 t) |$

$S(t) = \frac{1}{2} | \cos t \sin t + \cos^2 t - 3 |$

$S(t) = \frac{1}{2} | \frac{1}{2}\sin(2t) + \frac{1 + \cos(2t)}{2} - 3 |$

$S(t) = \frac{1}{4} | \sin(2t) + \cos(2t) + 1 - 6 |$

$S(t) = \frac{1}{4} | \sin(2t) + \cos(2t) - 5 |$

$\sin(2t) + \cos(2t) = \sqrt{2} \sin(2t + \frac{\pi}{4})$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ より $0 < 2t < \pi$

$\frac{\pi}{4} < 2t + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4}$

$-1 \le \sin(2t+\frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(2t+\frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-\sqrt{2} - 5 \le \sin(2t) + \cos(2t) - 5 \le \sqrt{2} - 5$

$S(t) = \frac{1}{4} | \sin(2t) + \cos(2t) - 5 |$

$S(t)$ は $2t = \frac{3\pi}{4}$ のとき最小となる。$\sin(2t) + \cos(2t) = - \sqrt{2}$

$S(t) = \frac{1}{4} | -\sqrt{2} - 5 | = \frac{5 + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{3}$

(2) 1

(3) $\frac{5 + \sqrt{2}}{4}$