与えられた行列 $A$ の階数(rank)を求めます。 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 9 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数(rank)を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 9 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ を行基本変形して階段行列に変形し、0でない行の数を数えます。これが $A$ の階数になります。

まず、1行目を基準にして2行目、3行目、4行目を掃き出します。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 9 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

(2行目) - (3/2) * (1行目) -> (2行目)

(3行目) - (3/2) * (1行目) -> (3行目)

(4行目) - 2 * (1行目) -> (4行目)

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 3 & 5/2 \\ 0 & -7/2 & -1/2 & 2 & 15/2 \\ 0 & -1 & -1 & -6 & -5 \end{pmatrix}$

次に、2行目を基準にして3行目、4行目を掃き出します。

(3行目) + 7 * (2行目) -> (3行目)

(4行目) + 2 * (2行目) -> (4行目)

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 3 & 5/2 \\ 0 & 0 & 3 & 23 & 50 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後に、3行目を定数倍して簡単化します。

(3行目) / 3 -> (3行目)

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 3 & 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & 23/3 & 50/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この階段行列には0でない行が3つあります。したがって、$A$ の階数は3です。

3. 最終的な答え

rank $A$ = 3