与えられた行列 $C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $C^{-1}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $C^{-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、行列 $C$ の行列式 $|C|$ を計算します。

$|C| = 2 \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix}$

$|C| = 2((-1)(2) - (-2)(-3)) - 2((1)(2) - (-2)(3)) - 1((1)(-3) - (-1)(3))$

$|C| = 2(-2 - 6) - 2(2 + 6) - 1(-3 + 3)$

$|C| = 2(-8) - 2(8) - 1(0)$

$|C| = -16 - 16 - 0 = -32$

次に、余因子行列 $Adj(C)$ を計算します。各要素の余因子は以下の通りです。

$C_{11} = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 6 = -8$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(2 + 6) = -8$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = -3 + 3 = 0$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -(4 - 3) = -1$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 3 = 7$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = -(-6 - 6) = 12$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -4 - 1 = -5$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-4 + 1) = 3$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 2 = -4$

余因子行列 $Adj(C)$ は、これらの余因子を並べた行列の転置です。

$Adj(C) = \begin{pmatrix} -8 & -1 & -5 \\ -8 & 7 & 3 \\ 0 & 12 & -4 \end{pmatrix}$

逆行列 $C^{-1}$ は、余因子行列を $|C|$ で割ったものです。

$C^{-1} = \frac{1}{|C|} Adj(C) = \frac{1}{-32} \begin{pmatrix} -8 & -1 & -5 \\ -8 & 7 & 3 \\ 0 & 12 & -4 \end{pmatrix}$

$C^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{32} & \frac{5}{32} \\ \frac{1}{4} & -\frac{7}{32} & -\frac{3}{32} \\ 0 & -\frac{3}{8} & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$C^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{32} & \frac{5}{32} \\ \frac{1}{4} & -\frac{7}{32} & -\frac{3}{32} \\ 0 & -\frac{3}{8} & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$