問題は3つの部分に分かれています。 (1) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めます。 (2) $x - \frac{1}{x} = 1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $(x + \frac{1}{x})^2$ の値を求めます。 (3) $x + \frac{1}{x} = a$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を $a$ を用いて表します。

1. 問題の内容

問題は3つの部分に分かれています。

(1) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めます。

(2) $x - \frac{1}{x} = 1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $(x + \frac{1}{x})^2$ の値を求めます。

(3) $x + \frac{1}{x} = a$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を $a$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、

$$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$

より、

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$$

また、

$$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$$

より、

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = 3^3 - 3 \cdot 3 = 27 - 9 = 18$$

(2) $x - \frac{1}{x} = 1$ のとき、

$$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$$

より、

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2 = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3$$

また、

$$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$

より、

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} + 4$$

よって

$$(x + \frac{1}{x})^2 = 3 + 2 + 2 = 5$$

(3) $x + \frac{1}{x} = a$ のとき、

$$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$

より、

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = a^2 - 2$$

また、

$$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$$

より、

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = a^3 - 3a$$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$, $x^3 + \frac{1}{x^3} = 18$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$, $(x + \frac{1}{x})^2 = 5$

(3) $x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2$, $x^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a$