自然数 $a, b$ について、命題「$a^2 + b^2$ が奇数ならば $ab$ は偶数である」が与えられている。 (1) 与えられた命題の裏を記述する。 (2) 与えられた命題の対偶を記述する。 (3) 対偶を用いて、与えられた命題が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

自然数 $a, b$ について、命題「$a^2 + b^2$ が奇数ならば $ab$ は偶数である」が与えられている。

(1) 与えられた命題の裏を記述する。

(2) 与えられた命題の対偶を記述する。

(3) 対偶を用いて、与えられた命題が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 命題「$p$ ならば $q$」の裏は「$p$ でないならば $q$ でない」である。

与えられた命題の仮定は「$a^2 + b^2$ が奇数」、結論は「$ab$ は偶数」である。

よって、裏は「$a^2 + b^2$ が偶数ならば $ab$ は奇数である」となる。

(2) 命題「$p$ ならば $q$」の対偶は「$q$ でないならば $p$ でない」である。

与えられた命題の仮定は「$a^2 + b^2$ が奇数」、結論は「$ab$ は偶数」である。

よって、対偶は「$ab$ が奇数ならば $a^2 + b^2$ は偶数である」となる。

(3) 対偶「$ab$ が奇数ならば $a^2 + b^2$ は偶数である」を証明する。

$ab$ が奇数であるとき、$a$ と $b$ はともに奇数である。

なぜなら、$a$ または $b$ が偶数であると $ab$ は偶数になるからである。

したがって、$a = 2m + 1$、$b = 2n + 1$ ( $m, n$ は整数) と表せる。

このとき、

$a^2 + b^2 = (2m + 1)^2 + (2n + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 + 4n + 1 = 4(m^2 + m + n^2 + n) + 2 = 2\{2(m^2 + m + n^2 + n) + 1\}$

これは偶数である。

したがって、対偶「$ab$ が奇数ならば $a^2 + b^2$ は偶数である」は真である。

対偶が真であるから、もとの命題「$a^2 + b^2$ が奇数ならば $ab$ は偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + b^2$ が偶数ならば $ab$ は奇数である。

(2) $ab$ が奇数ならば $a^2 + b^2$ は偶数である。

(3) 対偶が真であるから、もとの命題も真である。