(1) 2次関数 $y = x^2 - mx + m$ (ここで $m$ は実数の定数) の最小値を $k$ とするとき、$k$ の最大値を求める。 (2) 実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = x^2 - mx + m$ (ここで $m$ は実数の定数) の最小値を $k$ とするとき、$k$ の最大値を求める。

(2) 実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y$ を平方完成する。

$y = x^2 - mx + m = (x - \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m$

よって、最小値 $k$ は $k = - \frac{m^2}{4} + m$ である。

$k$ の最大値を求めるために、$k$ を $m$ の関数として平方完成する。

$k = - \frac{1}{4} (m^2 - 4m) = - \frac{1}{4} ( (m - 2)^2 - 4) = - \frac{1}{4} (m - 2)^2 + 1$

したがって、$k$ の最大値は $m = 2$ のとき $1$ である。

(2)

条件 $x^2 + y^2 = 4$ から、$y^2 = 4 - x^2$ となる。

これを $4x + 2y^2$ に代入すると、$4x + 2y^2 = 4x + 2(4 - x^2) = 4x + 8 - 2x^2 = -2x^2 + 4x + 8$ となる。

ここで、$x$ は実数であり、$x^2 + y^2 = 4$ を満たすので、$-2 \le x \le 2$ である。

$f(x) = -2x^2 + 4x + 8$ とおくと、$f(x) = -2(x^2 - 2x) + 8 = -2((x - 1)^2 - 1) + 8 = -2(x - 1)^2 + 10$

$f(x)$ は $x = 1$ で最大値 $10$ をとる。このとき、$y^2 = 4 - 1^2 = 3$ より、$y = \pm \sqrt{3}$ である。

$x = -2$ のとき、$y^2 = 4 - (-2)^2 = 0$ より、$y = 0$ である。

$f(-2) = -2(-2)^2 + 4(-2) + 8 = -8 - 8 + 8 = -8$

$x = 2$ のとき、$y^2 = 4 - (2)^2 = 0$ より、$y = 0$ である。

$f(2) = -2(2)^2 + 4(2) + 8 = -8 + 8 + 8 = 8$

したがって、最大値は $x = 1, y = \pm \sqrt{3}$ のとき $10$ であり、最小値は $x = -2, y = 0$ のとき $-8$ である。

3. 最終的な答え

(1) $k$ の最大値: $1$

(2)

最大値: $10$ ($x = 1, y = \pm \sqrt{3}$ のとき)

最小値: $-8$ ($x = -2, y = 0$ のとき)