50人の学生に学年と数学が好きかどうかをアンケートした結果が表で与えられている。表の空欄を埋め、独立期待度数表を作成し、カイ二乗値を計算し、学年と数学が好きかどうかに関係があるかを判断する。

1. 問題の内容

50人の学生に学年と数学が好きかどうかをアンケートした結果が表で与えられている。表の空欄を埋め、独立期待度数表を作成し、カイ二乗値を計算し、学年と数学が好きかどうかに関係があるかを判断する。

2. 解き方の手順

(1) 表の空欄を埋める。

まず、1年生の合計を計算する。$19 + 9 = 28$ なので、⑦は28。

次に、2年生で数学が好きな人の数を計算する。全体の人数は50人であり、1年生が28人なので、2年生は$50 - 28 = 22$人。 2年生で数学が嫌いな人は18人なので、好きな人は$22 - 18 = 4$人。 よって、⑥は4。

次に、数学が嫌いな人の合計を計算する。$9 + 18 = 27$ なので、⑧は27。

最後に、合計の合計を計算すると、$23 + 27 = 50$ となるので、⑨は50。

(2) 独立期待度数表を作成する。

各セルの期待度数は、$(行の合計 * 列の合計) / 全体の合計$ で計算される。

* 1年生で数学が好き：$(28 * 23) / 50 = 12.88$

* 1年生で数学が嫌い：$(28 * 27) / 50 = 15.12$

* 2年生で数学が好き：$(22 * 23) / 50 = 10.12$

* 2年生で数学が嫌い：$(22 * 27) / 50 = 11.88$

(3) カイ二乗値を計算する。

カイ二乗値は、$\chi^2 = \sum \frac{(観測度数 - 期待度数)^2}{期待度数}$ で計算される。

$\chi^2 = \frac{(19 - 12.88)^2}{12.88} + \frac{(9 - 15.12)^2}{15.12} + \frac{(4 - 10.12)^2}{10.12} + \frac{(18 - 11.88)^2}{11.88}$

$\chi^2 = \frac{(6.12)^2}{12.88} + \frac{(-6.12)^2}{15.12} + \frac{(-6.12)^2}{10.12} + \frac{(6.12)^2}{11.88}$

$\chi^2 = \frac{37.4544}{12.88} + \frac{37.4544}{15.12} + \frac{37.4544}{10.12} + \frac{37.4544}{11.88}$

$\chi^2 = 2.908 + 2.477 + 3.701 + 3.153 = 12.239$

(4) 関係があるかどうかを判断する。

自由度（df）は、(行数 - 1) * (列数 - 1) = (2 - 1) * (2 - 1) = 1。

有意水準を0.05と仮定すると、自由度1のカイ二乗分布表から、$\chi^2$ の臨界値は3.841。

計算されたカイ二乗値 (12.239) は臨界値 (3.841) よりも大きいので、帰無仮説（学年と数学が好きかどうかは独立である）を棄却する。したがって、学年と数学が好きかどうかには関係がある。

3. 最終的な答え

(1) ⑦: 28, ⑥: 4, ⑧: 27, ⑨: 50

(2) 独立期待度数表

| 学年 | 数学が好き | 数学が嫌い |

|---|---|---|

| 1年 | 12.88 | 15.12 |

| 2年 | 10.12 | 11.88 |

(3) カイ二乗値: 12.2

(4) 関係: 関係がある