50人の学生に対して、学年と数学が好きかどうかについてのアンケートを実施した結果が表にまとめられている。この表の空欄を埋め、独立期待度数表を作成し、カイ二乗値を計算し、学年と数学が好きかどうかに関係があるか判定する。

1. 問題の内容

50人の学生に対して、学年と数学が好きかどうかについてのアンケートを実施した結果が表にまとめられている。この表の空欄を埋め、独立期待度数表を作成し、カイ二乗値を計算し、学年と数学が好きかどうかに関係があるか判定する。

2. 解き方の手順

(1) 空欄を埋める。

* ⑦: 2年生で数学が好き = $23 - 19 = 4$

* ⑧: 1年生の合計 = $19 + 9 = 28$

* ⑨: 2年生の合計 = $4 + 18 = 22$

* ⑩: 数学が嫌いな人の合計 = $9 + 18 = 27$

* ⑪: 合計 = $28 + 22 = 50$ or $23 + 27 = 50$

(2) 独立期待度数表を作成する。

独立期待度数 = (行の合計 * 列の合計) / 全体の合計

* 1年生で数学が好き: $(28 * 23) / 50 = 12.88$

* 1年生で数学が嫌い: $(28 * 27) / 50 = 15.12$

* 2年生で数学が好き: $(22 * 23) / 50 = 10.12$

* 2年生で数学が嫌い: $(22 * 27) / 50 = 11.88$

独立期待度数表

| | 数学好き | 数学嫌い |

| :----- | :------- | :------- |

| 1年生 | 12.88 | 15.12 |

| 2年生 | 10.12 | 11.88 |

(3) カイ二乗値を計算する。

$\chi^2 = \sum \frac{(観測度数 - 期待度数)^2}{期待度数}$

* $\frac{(19 - 12.88)^2}{12.88} = \frac{6.12^2}{12.88} = \frac{37.4544}{12.88} = 2.908$

* $\frac{(9 - 15.12)^2}{15.12} = \frac{(-6.12)^2}{15.12} = \frac{37.4544}{15.12} = 2.477$

* $\frac{(4 - 10.12)^2}{10.12} = \frac{(-6.12)^2}{10.12} = \frac{37.4544}{10.12} = 3.701$

* $\frac{(18 - 11.88)^2}{11.88} = \frac{(6.12)^2}{11.88} = \frac{37.4544}{11.88} = 3.153$

$\chi^2 = 2.908 + 2.477 + 3.701 + 3.153 = 12.239$

小数第1位まで求めると、$\chi^2 = 12.2$

(4) 関係があるかどうか判定する。

自由度 = (行数 - 1) * (列数 - 1) = (2 - 1) * (2 - 1) = 1

有意水準を5%とすると、自由度1のカイ二乗分布の臨界値は3.841。

計算されたカイ二乗値12.2は臨界値3.841より大きいため、帰無仮説（学年と数学が好きかどうかは独立である）を棄却する。したがって、学年と数学が好きかどうかには関係があると言える。

3. 最終的な答え

(1) ⑦: 4, ⑧: 28, ⑨: 22, ⑩: 27, ⑪: 50

(2) 独立期待度数表

| | 数学好き | 数学嫌い |

| :----- | :------- | :------- |

| 1年生 | 12.88 | 15.12 |

| 2年生 | 10.12 | 11.88 |

(3) カイ二乗値: 12.2

(4) 関係がある