100人を対象に商品Pと商品Qに関するアンケート調査を行った結果が与えられている。商品Pに満足している人は63人、商品Qに満足している人は88人である。商品Pと商品Qの両方に満足している人の最大人数と最小人数を求め、ベン図を用いて説明せよ。

1. 問題の内容

100人を対象に商品Pと商品Qに関するアンケート調査を行った結果が与えられている。商品Pに満足している人は63人、商品Qに満足している人は88人である。商品Pと商品Qの両方に満足している人の最大人数と最小人数を求め、ベン図を用いて説明せよ。

2. 解き方の手順

まず、ベン図を考える。全体集合は100人であり、商品Pに満足している人の集合をP、商品Qに満足している人の集合をQとする。

$|P| = 63$, $|Q| = 88$

最大人数を求める。商品Pに満足している人が63人なので、商品Pと商品Qの両方に満足している人は最大で63人である。これは、商品Pに満足している人全員が商品Qにも満足している場合である。

したがって、

$|P \cap Q|_{max} = min(|P|, |Q|) = min(63, 88) = 63$

最小人数を求める。

$|P \cup Q| = |P| + |Q| - |P \cap Q|$

$|P \cup Q| \le 100$ (全体集合の人数を超えることはない)

$|P \cap Q| = |P| + |Q| - |P \cup Q|$

$|P \cap Q|_{min}$ となるのは、$|P \cup Q|$ が最大となるとき、つまり100人のときである。

$|P \cap Q|_{min} = 63 + 88 - 100 = 151 - 100 = 51$

したがって、商品Pと商品Qの両方に満足している人は、最大で63人、最小で51人となる。

ベン図による説明：

全体を長方形で表し、P, Qを円で表す。

最大人数：Pの円がQの円に含まれるような場合を考える。このとき、$P \cap Q$ はPの円そのものになるので、$|P \cap Q| = |P| = 63$。

最小人数：PとQの円が重なっている部分が最も小さくなるのは、PとQの和集合が全体集合と等しくなる場合である。このとき、$|P \cup Q| = 100$ であり、$|P \cap Q| = |P| + |Q| - |P \cup Q| = 63 + 88 - 100 = 51$。

3. 最終的な答え

商品Pも商品Qも両方満足している人の最大人数：63人

商品Pも商品Qも両方満足している人の最小人数：51人