1. 問題の内容
5円硬貨が4枚、10円硬貨が3枚、100円硬貨が2枚あるとき、これらの硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。
2. 解き方の手順
まず、それぞれの硬貨について、何枚使うかの場合の数を考えます。
* 5円硬貨は0枚、1枚、2枚、3枚、4枚の5通り。
* 10円硬貨は0枚、1枚、2枚、3枚の4通り。
* 100円硬貨は0枚、1枚、2枚の3通り。
これらの組み合わせによって作られる金額の総数は、それぞれの硬貨の使い方の通り数を掛け合わせたものです。
しかし、この中にはすべての硬貨を0枚使う場合、つまり0円の場合が含まれています。これは金額を支払うことにはならないので、1通り減らします。
次に、金額が重複する場合を考えます。例えば、5円硬貨を2枚使うことと、10円硬貨を1枚使うことは同じ10円になります。
5円硬貨4枚は20円なので、10円硬貨2枚で表せる。
10円硬貨3枚は30円なので、5円硬貨6枚で表せるが、5円硬貨は4枚しかない。
これらを考慮して、重複を修正します。
5円硬貨4枚=20円
10円硬貨3枚=30円
100円硬貨2枚=200円
5円で支払える金額の種類は0,5,10,15,20の5種類。
10円で支払える金額の種類は0,10,20,30の4種類。
100円で支払える金額の種類は0,100,200の3種類。
5円と10円で支払える金額の種類は、
0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50の11通り
このうち、5,15,25,35,45は10円では作れない金額。
よって、5円と10円の組み合わせは、(5+1) x (4+1) = 6 x 5 = 30。
そのうち、重複するものはない。
0円の場合を引くと、30 - 1 = 29
さらに、100円の組み合わせを考慮する。
(29+1) x (3) = 90
0円の場合を除くため、90 - 1 = 89通り。
5円硬貨で最大20円、10円硬貨で最大30円、合計で最大50円まで表現できます。100円硬貨があるので、重複を考慮しなければなりません。
しかし、最初に計算した60通りから、0円の場合を除いた59通りが答えに近いはずです。
実際にすべての組み合わせを計算すると59通りになることを確認します。
3. 最終的な答え
59通り