$a < b$ を満たす自然数 $a$ と $b$ があり、最大公約数が11、和が99である。この条件を満たす組 $(a, b)$ を全て求めよ。

## 問題82の解答

1. 問題の内容

$a < b$ を満たす自然数 $a$ と $b$ があり、最大公約数が11、和が99である。この条件を満たす組 $(a, b)$ を全て求めよ。

2. 解き方の手順

$a$ と $b$ の最大公約数が11なので、$a = 11x$, $b = 11y$ (ただし、$x, y$ は互いに素な自然数)と表せる。

また、$a < b$ より $x < y$ である。

$a + b = 99$ なので、

$$11x + 11y = 99$$

$$x + y = 9$$

$x < y$ かつ $x, y$ は互いに素な自然数なので、条件を満たす $(x, y)$ の組は以下の通り。

* $(1, 8)$

* $(2, 7)$

* $(4, 5)$

それぞれの $(x, y)$ に対して、$(a, b) = (11x, 11y)$ を計算する。

* $(x, y) = (1, 8)$ のとき、$(a, b) = (11, 88)$

* $(x, y) = (2, 7)$ のとき、$(a, b) = (22, 77)$

* $(x, y) = (4, 5)$ のとき、$(a, b) = (44, 55)$

3. 最終的な答え

$(a, b) = (11, 88), (22, 77), (44, 55)$