関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに、点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに、点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^2 - 2)$ とおきます。

次に、$y = x^2 - 2$ を微分して、導関数を求めます。

$y' = 2x$

$x=t$ における接線の傾きは $2t$ です。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t^2 - 2) = 2t(x - t)$

この接線が点 $(2, -7)$ を通るので、$x = 2$、$y = -7$ を代入します。

$-7 - (t^2 - 2) = 2t(2 - t)$

$-7 - t^2 + 2 = 4t - 2t^2$

$-5 - t^2 = 4t - 2t^2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(t - 5)(t + 1) = 0$

したがって、$t = 5$ または $t = -1$

$t = 5$ のとき、接点の座標は $(5, 23)$ であり、接線の傾きは $2(5) = 10$ です。

接線の方程式は $y - 23 = 10(x - 5)$、つまり $y = 10x - 27$ です。

$t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, -1)$ であり、接線の傾きは $2(-1) = -2$ です。

接線の方程式は $y - (-1) = -2(x - (-1))$、つまり $y = -2x - 3$ です。

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、$y = 10x - 27$ と $y = -2x - 3$ です。