正の整数 $a, b$ があり、$a < b$ であるとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10}$ を満たす $a, b$ の組み合わせの数を求める。

1. 問題の内容

正の整数 $a, b$ があり、$a < b$ であるとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10}$ を満たす $a, b$ の組み合わせの数を求める。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10}$ を変形する。

$\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{10}$

$10(a+b) = ab$

$ab - 10a - 10b = 0$

$(a-10)(b-10) - 100 = 0$

$(a-10)(b-10) = 100$

$a, b$ は正の整数で $a < b$ であるから、$a-10$ と $b-10$ は整数であり、$a - 10 < b - 10$ である。

$100$ を正の整数の積で表すと以下のようになる。

$100 = 1 \times 100 = 2 \times 50 = 4 \times 25 = 5 \times 20 = 10 \times 10$

それぞれの組み合わせについて $a$ と $b$ を求め、$a < b$ の条件を満たすものを数える。

1. $a - 10 = 1, b - 10 = 100 \implies a = 11, b = 110$

2. $a - 10 = 2, b - 10 = 50 \implies a = 12, b = 60$

3. $a - 10 = 4, b - 10 = 25 \implies a = 14, b = 35$

4. $a - 10 = 5, b - 10 = 20 \implies a = 15, b = 30$

5. $a - 10 = 10, b - 10 = 10 \implies a = 20, b = 20$

$a < b$ である必要があるため、$a=20, b=20$ の場合は除外される。したがって、組み合わせは4つである。

3. 最終的な答え

4組