与えられた三角関数の式を計算します。 $ \frac{\tan 30^\circ - \tan 135^\circ - \tan 180^\circ}{1 + \tan 120^\circ \tan 45^\circ} $

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を計算します。

$\frac{\tan 30^\circ - \tan 135^\circ - \tan 180^\circ}{1 + \tan 120^\circ \tan 45^\circ}$

2. 解き方の手順

まず、各三角関数の値を求めます。

* $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

* $\tan 135^\circ = -1$

* $\tan 180^\circ = 0$

* $\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$

* $\tan 45^\circ = 1$

これらの値を元の式に代入します。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} - (-1) - 0}{1 + (-\sqrt{3}) \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

分子と分母に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - 3\sqrt{3}}$

分子と分母に $3 + 3\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{(\sqrt{3} + 3)(3 + 3\sqrt{3})}{(3 - 3\sqrt{3})(3 + 3\sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3} + 9 + 9 + 9\sqrt{3}}{9 - 27} = \frac{12\sqrt{3} + 18}{-18} = \frac{6(2\sqrt{3} + 3)}{-18} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{-3} = -\frac{2\sqrt{3} + 3}{3} = -\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3} = -1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$-1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

または

$-\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$