0, 1, 2, 3, 4, 5 の 6 個の数字から異なる 4 個の数字を選んで並べて 4 桁の整数を作るとき、以下の問いに答えよ。 (1) 整数は全部で何個できるか。 (2) 奇数は全部で何個できるか。 (3) 2400 より大きい整数は全部で何個できるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の 6 個の数字から異なる 4 個の数字を選んで並べて 4 桁の整数を作るとき、以下の問いに答えよ。

(1) 整数は全部で何個できるか。

(2) 奇数は全部で何個できるか。

(3) 2400 より大きい整数は全部で何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 整数

4 桁の整数を作るので、千の位は 0 以外の数字である必要がある。

千の位の選び方は 5 通り。

百の位の選び方は、千の位で使った数字以外の 5 通り。

十の位の選び方は、千の位と百の位で使った数字以外の 4 通り。

一の位の選び方は、千の位、百の位、十の位で使った数字以外の 3 通り。

よって、整数は全部で $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個できる。

(2) 奇数

一の位が奇数である必要がある。奇数は 1, 3, 5 の 3 つなので、一の位の選び方は 3 通り。

千の位は 0 以外の数字である必要がある。また、一の位で使った数字も使えない。

(i) 一の位が奇数のとき、千の位が 0 ではないので、千の位の選び方は 4 通り。

百の位の選び方は、千の位と一の位で使った数字以外の 4 通り。

十の位の選び方は、千の位、百の位、一の位で使った数字以外の 3 通り。

この場合、奇数は $4 \times 4 \times 3 \times 3 = 144$ 個できる。

(ii) 千の位が 0 の場合はないので、これで全ての場合を網羅できている。

(3) 2400 より大きい整数

2400 より大きい整数を作る。

(i) 千の位が 2 の場合

百の位は 4 または 5 である必要がある。

百の位が 4 の場合、十の位は 0, 1, 3, 5 のいずれかであり、一の位は十の位以外の 3 通り。よって $1 \times 1 \times 4 \times 3 = 12$ 個。

百の位が 5 の場合、十の位は 0, 1, 3, 4 のいずれかであり、一の位は十の位以外の 3 通り。よって $1 \times 1 \times 4 \times 3 = 12$ 個。

(ii) 千の位が 3, 4, 5 のいずれかの場合

千の位の選び方は 3 通り。

百の位の選び方は 5 通り。

十の位の選び方は 4 通り。

一の位の選び方は 3 通り。

よって $3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$ 個。

したがって、2400 より大きい整数は $12 + 12 + 180 = 204$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 300 個

(2) 144 個

(3) 204 個