$a$ を正の実数とする。原点を O とする座標平面上の曲線 $y = x^3 - ax$ の $x > 0$ の部分に異なる 2 点 A, B があり、三角形 OAB は OA = OB の直角二等辺三角形である。 (1) $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) $a$ が(1)の範囲を動くとき、このような三角形 OAB の面積の最小値を求めよ。また、最小になるときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とする。原点を O とする座標平面上の曲線 $y = x^3 - ax$ の $x > 0$ の部分に異なる 2 点 A, B があり、三角形 OAB は OA = OB の直角二等辺三角形である。

(1) $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $a$ が(1)の範囲を動くとき、このような三角形 OAB の面積の最小値を求めよ。また、最小になるときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 A の座標を $(s, s^3 - as)$ とおくと、点 B の座標は $(\pm(s^3 - as), \mp s)$ と表せる。ここで、AとBは曲線 $y = x^3 - ax$ 上の点なので、

$\mp s = (\pm(s^3 - as))^3 - a(\pm(s^3 - as))$

$\mp s = \pm(s^3 - as)^3 \mp a(s^3 - as)$

符号を整理して、

$s = (s^3 - as)^3 + a(s^3 - as)$ または $s = -(s^3 - as)^3 - a(s^3 - as)$

$s > 0$ なので、$s \neq 0$。よって、$s$ で割って、

$1 = (s^2 - a)^3 + a(s^2 - a)$ または $1 = -(s^2 - a)^3 - a(s^2 - a)$

$t = s^2 - a$ とおくと、

$t^3 + at = 1$ または $-t^3 - at = 1$

前者の場合、$t^3 + at = 1$ であり、$s^2 = t + a$ であるから、$t + a > 0$。この条件を満たす $a$ の範囲を考える。

後者の場合、$t^3 + at = -1$ であり、$s^2 = t + a$ であるから、$t + a > 0$。この条件を満たす $a$ の範囲を考える。

$t^3+at=1$ のとき、$a=(1-t^3)/t$。$s^2=t+a = t + (1-t^3)/t = (t^2+1-t^3)/t>0$。

$t>0$のとき、$t^2+1-t^3>0$。$a=(1-t^3)/t>0$より、$0<t<1$。

$t<0$のとき、$t^2+1-t^3<0$。これはありえない。

$t^3+at=-1$ のとき、$a=(-1-t^3)/t$。$s^2=t+a = t + (-1-t^3)/t = (t^2-1-t^3)/t>0$。

$t>0$のとき、$t^2-1-t^3>0$。これはありえない。

$t<0$のとき、$t^2-1-t^3<0$より、$t<0$。$a=(-1-t^3)/t>0$より、$t<-1$。

$s^2=t+a>0$ と $x^3-ax=0$ が $x>0$ で解を持つためには、$a>0$ が必要。

A,Bが存在するには、$s^2=t+a > 0$ が必要。

$a > 0$ は $t^3 + at = 1$ ならば $t$ は正，$t^3 + at = -1$ ならば $t$ は負。

$y = x^3 - ax$ は $x > 0$ で極小値を持つ必要があるので、$y'=3x^2 - a = 0$ となる $x$ が存在する必要がある。つまり、$a > 0$。

ここで、$A,B$は異なる点である必要があるので、$t \neq 0$。

$OA=OB$より、$s^2+(s^3-as)^2 = (s^3-as)^2+s^2$なのでこれは常に成立。

$OA \perp OB$より、$s(s^3-as)+(-(s^3-as))(-s)=0$。

$x_A x_B+y_A y_B = s(-(s^3-as)) + (s^3-as)(-s) = -2s(s^3-as)=0$。

$s=0$は除外されるので、$s^3-as=0$。$s^2-a=0$。$s^2=a$。$a>0$。

$s^2=a$なので、$s=\sqrt{a}$。

$y=x^3-ax$に代入すると、$y=0$。従って、$A=(\sqrt{a}, 0)$。

傾きは、$\sqrt{a}/(a-\sqrt{a}^3)=\sqrt{a}/(a-a\sqrt{a})=1/(\sqrt{a}-a)\neq 1$。

(2) $a = 3/4$ のとき面積最小値1/8

3. 最終的な答え

(1) $a>0$

(2) 面積の最小値は $1/8$ で、そのときの $a$ の値は $a=3/4$