円に内接する四角形ABCDにおいて、$BC = \sqrt{2}$、$BD = \sqrt{6}$、$\angle ABD = 45^\circ$、$\angle CBD = 30^\circ$であるとき、CD, AD, 四角形ABCDの外接円の半径, AB, 四角形ABCDの面積を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$BC = \sqrt{2}$、$BD = \sqrt{6}$、$\angle ABD = 45^\circ$、$\angle CBD = 30^\circ$であるとき、CD, AD, 四角形ABCDの外接円の半径, AB, 四角形ABCDの面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle BCD$において、余弦定理より

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos \angle CBD$

$CD^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos 30^\circ$

$CD^2 = 2 + 6 - 2 \cdot \sqrt{12} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$CD^2 = 8 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$CD^2 = 8 - 4 \cdot \frac{3}{2} = 8 - 6 = 2$

$CD = \sqrt{2}$

(2) $\angle BAD = \angle BCD$である。

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$

円に内接する四角形の性質より $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

$\triangle ABD$において、正弦定理より$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = 2R$, ただしRは外接円の半径

$2R = \frac{BD}{\sin \angle BAD}$より、

$\angle BAD = \angle BCD$である。

$\triangle BCD$において、余弦定理より$\cos \angle BCD = \frac{BC^2 + CD^2 - BD^2}{2 \cdot BC \cdot CD} = \frac{2+2-6}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

よって $\angle BCD = 120^{\circ}$、ゆえに$\angle BAD = 120^{\circ}$.

$\triangle ABD$において正弦定理より $\frac{BD}{\sin \angle BAD} = 2R$.

$2R = \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}$. よって$R = \sqrt{2}$.

$\triangle ABD$において、正弦定理より $\frac{AD}{\sin \angle ABD} = 2R = 2\sqrt{2}$

$AD = 2\sqrt{2} \sin 45^\circ = 2\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$

(3) $\triangle ABD$において、$\angle ADB = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$

$\triangle ABD$において、正弦定理より$\frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{BD}{\sin \angle BAD}$

$AB = \frac{BD \sin \angle ADB}{\sin \angle BAD} = \frac{\sqrt{6} \sin 15^\circ}{\sin 120^\circ}$

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$AB = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{6} = \frac{(6 - 2\sqrt{3})}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} - 1 = \sqrt{3}-1$.

四角形ABCDの面積は、$\triangle ABD + \triangle BCD$の面積である。

$\triangle ABD = \frac{1}{2} AB \cdot BD \cdot \sin \angle ABD = \frac{1}{2} (\sqrt{3} - 1) \sqrt{6} \sin 45^\circ = \frac{1}{2} (\sqrt{3}-1)\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{4}(\sqrt{3}-1) \sqrt{12} = \frac{1}{4}(\sqrt{3}-1)2\sqrt{3} = \frac{1}{2}(3 - \sqrt{3})$

$\triangle BCD = \frac{1}{2} BC \cdot BD \cdot \sin \angle CBD = \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{12} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

四角形ABCDの面積 = $\frac{3-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $CD = \sqrt{2}$

(2) $AD = 2$, 外接円の半径は$\sqrt{2}$

(3) $AB = \sqrt{3}-1$, 四角形ABCDの面積は$\frac{3}{2}$