一辺の長さが1の正四面体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

正四面体の体積を求める公式は、底面積 × 高さ × (1/3) です。

まず、底面である正三角形の面積を求めます。

一辺の長さが1の正三角形の面積は、$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ です。

次に、高さを求めます。正四面体の頂点から底面に下ろした垂線は、底面の正三角形の重心に交わります。底面の正三角形の重心は、各頂点から対辺の中点までの距離の2/3の位置にあります。

底面の正三角形の頂点から対辺の中点までの距離（高さ）は、$\frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。したがって、底面の重心までの距離は、$\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

正四面体の高さ $h$ は、ピタゴラスの定理を用いて求められます。正四面体の一つの辺の長さは1なので、$h^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1^2$ となります。

$h^2 = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

したがって、正四面体の体積 $V$ は、

$V = \frac{1}{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{4}) \times (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{\sqrt{18}}{36} = \frac{3\sqrt{2}}{36} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{12}$