7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数は何個あるか。 (1) 整数 (2) 奇数 (3) 5の倍数 (4) 54000より大きい整数

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数は何個あるか。

(1) 整数

(2) 奇数

(3) 5の倍数

(4) 54000より大きい整数

2. 解き方の手順

(1) 整数:

5桁の整数を作るので、一番左の桁は0以外である必要があります。

* 一番左の桁が0でない場合: 6通りの選び方があります。残りの4桁は、残りの6個の数字から異なる4個を選ぶ順列なので、$P(6,4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通りです。

よって、$6 \times 360 = 2160$通り。

(2) 奇数:

一の位が奇数である必要があります。一の位は1, 3, 5 のいずれかです。

* 一の位が奇数である場合: 3通りの選び方があります。一番左の桁は0以外である必要があります。

* 一番左の桁が0でない場合: 一の位の選び方で場合分けする必要があります。

* 一の位が奇数で、かつ一番左の桁が0, 一の位以外の場合: 5通り。残りの3桁は、残りの5個の数字から異なる3個を選ぶ順列なので、$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。よって、$3 \times 5 \times 60 = 900$通り。

* 一の位が奇数で、かつ一番左の桁が0の場合: これはありえない。

よって、900通り。

(3) 5の倍数:

一の位が0または5である必要があります。

* 一の位が0の場合: 残りの4桁は、残りの6個の数字から異なる4個を選ぶ順列なので、$P(6,4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り。

* 一の位が5の場合: 一番左の桁は0以外である必要があります。

* 一番左の桁が0でない場合: 5通りの選び方があります。残りの3桁は、残りの5個の数字から異なる3個を選ぶ順列なので、$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。よって、$5 \times 60 = 300$通り。

よって、$360 + 300 = 660$通り。

(4) 54000より大きい整数:

* 一番左の桁が5の場合: 次の桁が4, 5, 6のいずれかである必要があります。

* 一番左の桁が5, 次の桁が4の場合: 残りの3桁は、残りの5個の数字から異なる3個を選ぶ順列なので、$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

* 一番左の桁が5, 次の桁が5の場合: これはありえない。

* 一番左の桁が5, 次の桁が6の場合: 残りの3桁は、残りの5個の数字から異なる3個を選ぶ順列なので、$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

* 一番左の桁が6の場合: 残りの4桁は、残りの6個の数字から異なる4個を選ぶ順列なので、$P(6,4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り。

よって、$60 + 60 + 360 = 480$通り。

3. 最終的な答え

(1) 2160個

(2) 900個

(3) 660個

(4) 480個