問題文は、次の3つの定積分を求めることを求めています。 (1) $\int_{0}^{\pi} |\cos x| dx$ (2) $\int_{0}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx$ (3) $\int_{0}^{6} \sqrt{|x-3|} dx$

1. 問題の内容

問題文は、次の3つの定積分を求めることを求めています。

(1) $\int_{0}^{\pi} |\cos x| dx$

(2) $\int_{0}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx$

(3) $\int_{0}^{6} \sqrt{|x-3|} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{\pi} |\cos x| dx$

$\cos x$ の符号が変わる区間を考慮して積分区間を分割します。

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos x \ge 0$ なので $|\cos x| = \cos x$

$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ のとき $\cos x \le 0$ なので $|\cos x| = -\cos x$

したがって、

$\int_{0}^{\pi} |\cos x| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos x) dx$

$= [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + [-\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$

$= (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) + (-\sin \pi + \sin \frac{\pi}{2})$

$= (1 - 0) + (-0 + 1)$

$= 1 + 1 = 2$

(2) $\int_{0}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx$

$\sqrt{x} - 2$ の符号が変わる区間を考慮して積分区間を分割します。

$\sqrt{x} - 2 = 0$ となるのは $x = 4$ のときです。

$0 \le x \le 4$ のとき $\sqrt{x} - 2 \le 0$ なので $|\sqrt{x} - 2| = -(\sqrt{x} - 2) = 2 - \sqrt{x}$

$4 \le x \le 9$ のとき $\sqrt{x} - 2 \ge 0$ なので $|\sqrt{x} - 2| = \sqrt{x} - 2$

したがって、

$\int_{0}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx = \int_{0}^{4} (2 - \sqrt{x}) dx + \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) dx$

$= [2x - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} + [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x]_{4}^{9}$

$= (2 \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (0 - 0)) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 9 - (\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 4))$

$= 8 - \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{2}{3} \cdot 27 - 18 - \frac{2}{3} \cdot 8 + 8$

$= 8 - \frac{16}{3} + 18 - 18 - \frac{16}{3} + 8$

$= 16 - \frac{32}{3} = \frac{48 - 32}{3} = \frac{16}{3}$

(3) $\int_{0}^{6} \sqrt{|x-3|} dx$

$x-3$ の符号が変わる区間を考慮して積分区間を分割します。

$0 \le x \le 3$ のとき $x-3 \le 0$ なので $|x-3| = -(x-3) = 3-x$

$3 \le x \le 6$ のとき $x-3 \ge 0$ なので $|x-3| = x-3$

したがって、

$\int_{0}^{6} \sqrt{|x-3|} dx = \int_{0}^{3} \sqrt{3-x} dx + \int_{3}^{6} \sqrt{x-3} dx$

ここで $u = 3-x$ とおくと、$du = -dx$ であり、$x=0$ のとき $u=3$, $x=3$ のとき $u=0$

また $v = x-3$ とおくと、$dv = dx$ であり、$x=3$ のとき $v=0$, $x=6$ のとき $v=3$

$\int_{0}^{3} \sqrt{3-x} dx = \int_{3}^{0} \sqrt{u} (-du) = \int_{0}^{3} \sqrt{u} du = [\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3} = \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$\int_{3}^{6} \sqrt{x-3} dx = \int_{0}^{3} \sqrt{v} dv = [\frac{2}{3}v^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3} = \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$\int_{0}^{6} \sqrt{|x-3|} dx = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{16}{3}$

(3) $4\sqrt{3}$