7色の絵の具すべてを使って、図の7つの部分を塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、回転して一致する塗り方は同一の塗り方とみなす。

幾何学場合の数順列回転対称性

2025/6/1

1. 問題の内容

7色の絵の具すべてを使って、図の7つの部分を塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、回転して一致する塗り方は同一の塗り方とみなす。

2. 解き方の手順

まず、回転を考慮せずに7つの部分を7色で塗り分ける場合の数を計算します。これは、7色の並べ方なので、

7!

通りです。

次に、回転によって同一とみなされる塗り方を考慮します。図形を回転させると、同じ塗り方になる場合が6通りあります（360度を7で割った角度ずつ回転させることを繰り返すと、最初の状態に戻るまでに7回の回転が必要ですが、最初の状態は数えない）。しかし、Aを固定すると、残りの6箇所の塗り方は回転を考慮する必要がありません。

したがって、Aに塗る色を7色から選ぶと、残りの6箇所の塗り方は6色の並べ方なので、

6!

通りとなります。

よって、塗り方の総数は、

7!/7

、つまり

6!

通りとなります。

3. 最終的な答え

720通り

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