1から $n$ までの番号が書かれた $n$ 枚のカードを、区別しない3つの箱に入れる。カードが入らない箱があっても良い。 (ウ) 2つ以上の箱にカードが入るような入れ方の総数を求める。 (エ) カードの入れ方の総数を求める。

1. 問題の内容

1から $n$ までの番号が書かれた $n$ 枚のカードを、区別しない3つの箱に入れる。カードが入らない箱があっても良い。

(ウ) 2つ以上の箱にカードが入るような入れ方の総数を求める。

(エ) カードの入れ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(ウ) 2つ以上の箱にカードが入る入れ方を求める。

全事象から、1つの箱に全てのカードが入る場合を引くことで計算する。

全事象は、各カードに対して3つの箱の選択肢があるので、$3^n$通り。ただし、箱は区別しないので、すべてまとめて１つの箱に入れる方法は1通り。

よって、1つの箱に全てのカードが入る入れ方は1通り。

2つ以上の箱にカードが入る入れ方は、$3^n$ から 「1つの箱に全てのカードが入る場合」と「どの箱にもカードが入らない場合」を取り除き、箱の区別をなくす操作が必要となる。

まず、箱を区別する場合を考える。各カードは3つの箱のいずれかに入るので、$3^n$ 通りの入れ方がある。

このうち、全てのカードが1つの箱に入るのは3通り（箱1つを選ぶ）。

従って、2つ以上の箱にカードが入る入れ方は、$3^n - 3$ 通り。

箱は区別しないので、この結果を調整する必要がある。

3つの箱のうち、2つにカードが入る場合を考える。箱の選び方は ${3 \choose 2} = 3$ 通り。1つの箱にすべてのカードが入る場合を引く必要がある。

箱を区別しないので、

1. 1つの箱にすべて入る場合: 1通り

2. 2つの箱に分かれる場合: $S(n,2)$ (第二種スターリング数)通り

3. 3つの箱に分かれる場合: $S(n,3)$ (第二種スターリング数)通り

ただし、$S(n,k)$ は第二種スターリング数で、n個のものをk個の区別しない集合に分割する方法の数。

したがって、2つ以上の箱にカードが入る入れ方は、$S(n, 2) + S(n, 3)$ 通り。

全事象は、各カードに対して3つの箱の選択肢があるので、$3^n$通り。ただし、箱は区別しない。箱が区別できるなら、各カードは3つの箱のいずれかに入れるので、$3^n$通り。箱を区別しないので、全事象は

$S(n,1)+S(n,2)+S(n,3)$ 通り。ただし、$S(n,1) = 1$.

カードが入らない箱があってもよいので、カードの入れ方の総数は

$S(n, 1) + S(n, 2) + S(n, 3)$ 通り。

$S(n,2) = \frac{1}{2}(2^n - 2)$

$S(n,3) = \frac{1}{6}(3^n - 3 \cdot 2^n + 3)$

よって、$S(n,1) + S(n,2) + S(n,3) = 1 + \frac{1}{2}(2^n - 2) + \frac{1}{6}(3^n - 3 \cdot 2^n + 3) = \frac{1}{6}(3^n + 3 \cdot 2^n)$.

ウ: $\frac{1}{2}(2^n-2) + \frac{1}{6}(3^n-3 \cdot 2^n+3) = \frac{3^n+3 \cdot 2^n+6}{6} - 1= \frac{3^n-3}{6} + \frac{2^n-2}{2}$

カードの入れ方の総数は$\frac{3^n + 3 \cdot 2^n + 6}{6}$

3. 最終的な答え

ウ: $\frac{3^n - 3}{6} + \frac{2^n-2}{2}$

エ: $\frac{3^n + 3 \cdot 2^n + 6}{6}$