集合 $X = \{1, 2, 3\}$ に対して、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) 全ての $x \in X$ に対して $f \circ f \circ f(x) = x$ を満たす単射 $f: X \rightarrow X$ を全て求めよ。 (2) 写像 $\alpha: X \rightarrow X$ が $\alpha(1) = 1, \alpha(2) = 3, \alpha(3) = 2$ であるとき、$\alpha$ が (1) で求めた写像の合成写像として作れるかどうかを考察せよ。

1. 問題の内容

集合 $X = \{1, 2, 3\}$ に対して、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) 全ての $x \in X$ に対して $f \circ f \circ f(x) = x$ を満たす単射 $f: X \rightarrow X$ を全て求めよ。

(2) 写像 $\alpha: X \rightarrow X$ が $\alpha(1) = 1, \alpha(2) = 3, \alpha(3) = 2$ であるとき、$\alpha$ が (1) で求めた写像の合成写像として作れるかどうかを考察せよ。

2. 解き方の手順

(1) 単射 $f: X \rightarrow X$ を求める。$X$ は有限集合なので、単射であることは全射であることと同値であり、$f$ は置換である。

$f \circ f \circ f(x) = x$ は、$f^3(x) = x$ とも書ける。

考えられる $f$ は次の通り。

* 恒等写像: $f(x) = x$

このとき、$f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3$ であり、$f^3(x)=x$ を満たす。

* 2つの要素を入れ替える互換: 例えば、$f(1)=2, f(2)=1, f(3)=3$

このとき、$f^2(x) = x$ となるので、$f^3(x) = f(x) \neq x$ となり条件を満たさない。

* 3つの要素を巡回置換する写像: 例えば、$f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1$

このとき、$f^3(1) = f(f(f(1))) = f(f(2)) = f(3) = 1$、$f^3(2) = f(f(f(2))) = f(f(3)) = f(1) = 2$、$f^3(3) = f(f(f(3))) = f(f(1)) = f(2) = 3$となり、$f^3(x) = x$ を満たす。

$f(1) = 3, f(3) = 2, f(2) = 1$も$f^3(x) = x$ を満たす。

条件を満たす単射は以下の通り。

(ア) $f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3$ (恒等写像)

(イ) $f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1$

(ウ) $f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2$

(2) $\alpha(1) = 1, \alpha(2) = 3, \alpha(3) = 2$ を (1) で求めた写像の合成で作れるか考える。

(ア)は恒等写像である。

(イ)と(ウ) は互いに逆写像である。

$\alpha$ は、1を動かさず、2と3を入れ替える互換である。

$\alpha \circ \alpha(x) = x$ であるから、$\alpha$ は(1)で求めた写像のいずれの合成写像とも一致しない。

なぜなら、(ア)をいくら合成しても$\alpha$にはならない。(イ)と(ウ)は3回合成すると恒等写像になるので、$\alpha$にはならない。

3. 最終的な答え

(1) 条件を満たす写像は以下の3つである。

* $f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3$

* $f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1$

* $f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2$

(2) $\alpha$ は、(1) で求めた写像の合成写像として作れない。