$m, n$ は整数であるとき、「$m, n$ がともに 2 の倍数であること」が「$mn$ が 4 の倍数であること」のための必要条件、十分条件、必要十分条件のどれに当てはまるかを選択する問題です。

1. 問題の内容

$m, n$ は整数であるとき、「$m, n$ がともに 2 の倍数であること」が「$mn$ が 4 の倍数であること」のための必要条件、十分条件、必要十分条件のどれに当てはまるかを選択する問題です。

2. 解き方の手順

まず、「$m, n$ がともに 2 の倍数である」という条件をP、「$mn$ が 4 の倍数である」という条件をQとします。

(1) P ⇒ Q (PはQの十分条件か？) を検討します。

$m, n$ がともに 2 の倍数であるとき、$m = 2k$、$n = 2l$ ($k, l$は整数) と表すことができます。

このとき、$mn = (2k)(2l) = 4kl$ となり、$mn$ は 4 の倍数となります。

したがって、P ⇒ Q は真であり、PはQの十分条件です。

(2) Q ⇒ P (PはQの必要条件か？) を検討します。

$mn$ が 4 の倍数であるとき、$mn = 4k$ ($k$は整数) と表すことができます。

このとき、$m$ と $n$ がともに 2 の倍数であるとは限りません。

例えば、$m = 1$、$n = 4$ とすると、$mn = 4$ ですが、$m$ は 2 の倍数ではありません。

したがって、Q ⇒ P は偽であり、PはQの必要条件ではありません。

(1),(2)より、PはQの十分条件ではあるが必要条件ではないことがわかります。

3. 最終的な答え

(2) 十分条件であるが必要条件ではない