1から $n$ までの番号が書かれた $n$ 枚のカードがあり、これらを区別しない3つの箱に入れる。 (ウ) 2つ以上の箱にカードが入るような入れ方の総数を求める。 (エ) カードの入れ方の総数を求める。

1. 問題の内容

1から $n$ までの番号が書かれた $n$ 枚のカードがあり、これらを区別しない3つの箱に入れる。

(ウ) 2つ以上の箱にカードが入るような入れ方の総数を求める。

(エ) カードの入れ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(エ) カードの入れ方の総数を求める。

各カードについて、3つの箱のいずれかに入れることができるので、カードの入れ方は $3^n$ 通りある。ただし、箱は区別しないので、全てのカードを1つの箱に入れる場合は3通りとなる。この3通りは同じ入れ方とみなすため、重複はない。したがって、カードの入れ方は $3^n$ 通り。

(ウ) 2つ以上の箱にカードが入るような入れ方の総数を求める。

全事象から、1つの箱に全てのカードが入る場合を除けばよい。

全てのカードを1つの箱に入れる入れ方は3通りある。

したがって、2つ以上の箱にカードが入る入れ方は $3^n - 3$ 通り。

しかし、箱は区別しないので、全てのカードを1つの箱に入れる入れ方は1通りである。

全てのカードを2つの箱に入れる入れ方は、

箱を区別する場合、$2^n$ 通り。

両方の箱にカードが入るようにするには、$2^n - 2$ 通り。

箱を区別しないので、$(2^n - 2)/2 = 2^{n-1} - 1$ 通り。

従って、箱が区別しないので、

2つ以上の箱にカードが入る入れ方は、$3^n$から１つの箱に入れる場合を引く。

$3^n-1$

3つの箱に入れる総数 - 全て1つの箱に入れる(3通り) = 3^n - 3

３つの箱に入れる総数 - 全て1つの箱に入れる

箱を区別する場合、$3^n - 3$

箱を区別しない場合を考える

全て１つの箱に入れる場合は1通り

全て２つの箱に入れる場合は、$2^{n-1}-1$ 通り

カードの入れ方は全3^n通り

箱が区別できないので場合分けして考える

1. 全てのカードが１つの箱に入る。1通り。

2. 全てのカードが２つの箱に入る。$2^n - 2$。それを2で割るので$2^{n-1}-1$

3. 全てのカードが３つの箱に入る。

全事象 = 1+2+3 = $3^n$

$\rightarrow 1+2^{n-1} -1 + 3$

２つ以上の箱にカードが入るような入れ方は、カードの入れ方全体から全てのカードが１つの箱に入る場合を除けば良い。

全体の入れ方は、$3^n$ 通り。全てのカードが１つの箱に入る場合は、箱が区別されないので１通り。

2つ以上の箱にカードが入る入れ方は、$3^n-1$ 通り。

3. 最終的な答え

ウ: $3^n - 3$

エ: $3^n$