直線 $l: y = \frac{1}{2}x$ と放物線 $y = \frac{1}{8}x^2$ の交点をA, Bとする。直線 $l$ に平行な直線と放物線 $y = x^2$ の交点をC, Dとする。四角形ABCDが平行四辺形であるとき、以下の問いに答える。 (1) 点A, B, C, D の座標を求める。 (2) 平行四辺形ABCD の面積を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{2}x$ と放物線 $y = \frac{1}{8}x^2$ の交点をA, Bとする。直線 $l$ に平行な直線と放物線 $y = x^2$ の交点をC, Dとする。四角形ABCDが平行四辺形であるとき、以下の問いに答える。

(1) 点A, B, C, D の座標を求める。

(2) 平行四辺形ABCD の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

直線 $l: y = \frac{1}{2}x$ と放物線 $y = \frac{1}{8}x^2$ の交点を求めるために、連立方程式を解く。

$y = \frac{1}{2}x$ と $y = \frac{1}{8}x^2$ より、

$\frac{1}{2}x = \frac{1}{8}x^2$

$4x = x^2$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

$x = 0, 4$

$x=0$ のとき $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

$x=4$ のとき $y = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

よって、A(0, 0), B(4, 2)。

次に、直線 $l$ に平行な直線は $y = \frac{1}{2}x + b$ と表される。

この直線と放物線 $y = x^2$ の交点C, Dを求める。

$y = x^2$ と $y = \frac{1}{2}x + b$ より、

$x^2 = \frac{1}{2}x + b$

$x^2 - \frac{1}{2}x - b = 0$

$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 4(-b)}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 4b}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16b}}{4}$

$x_C = \frac{1 + \sqrt{1 + 16b}}{4}$, $x_D = \frac{1 - \sqrt{1 + 16b}}{4}$

$y_C = (\frac{1 + \sqrt{1 + 16b}}{4})^2$, $y_D = (\frac{1 - \sqrt{1 + 16b}}{4})^2$

四角形ABCDが平行四辺形である条件を考える。

$\overrightarrow{AB} = (4, 2)$, $\overrightarrow{DC} = (x_C - x_D, y_C - y_D)$

$\overrightarrow{DC} = (\frac{\sqrt{1 + 16b}}{2}, (\frac{1 + \sqrt{1 + 16b}}{4})^2 - (\frac{1 - \sqrt{1 + 16b}}{4})^2)$

$(\frac{\sqrt{1 + 16b}}{2}, \frac{4\sqrt{1 + 16b}}{16}) = (\frac{\sqrt{1 + 16b}}{2}, \frac{\sqrt{1 + 16b}}{4})$

これが $\overrightarrow{AB} = (4, 2)$ と等しいので、

$\frac{\sqrt{1 + 16b}}{2} = 4$, $\frac{\sqrt{1 + 16b}}{4} = 2$

$\sqrt{1 + 16b} = 8$

$1 + 16b = 64$

$16b = 63$

$b = \frac{63}{16}$

$x_C = \frac{1 + 8}{4} = \frac{9}{4}$, $x_D = \frac{1 - 8}{4} = -\frac{7}{4}$

$y_C = (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16}$, $y_D = (-\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$

C($\frac{9}{4}, \frac{81}{16}$), D($-\frac{7}{4}, \frac{49}{16}$)

(2) 平行四辺形ABCDの面積を求める。

$\overrightarrow{AB} = (4, 2)$

$\overrightarrow{AD} = (-\frac{7}{4} - 0, \frac{49}{16} - 0) = (-\frac{7}{4}, \frac{49}{16})$

平行四辺形の面積は $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}|$

$|4 \cdot \frac{49}{16} - 2 \cdot (-\frac{7}{4})| = |\frac{49}{4} + \frac{7}{2}| = |\frac{49}{4} + \frac{14}{4}| = \frac{63}{4}$

3. 最終的な答え

(1) A(0, 0), B(4, 2), C($\frac{9}{4}, \frac{81}{16}$), D($-\frac{7}{4}, \frac{49}{16}$)

(2) $\frac{63}{4}$