以下の3つの三角関数の式をそれぞれ簡単にせよ。 (1) $(2\sin\theta + 3\cos\theta)^2 + (3\sin\theta - 2\cos\theta)^2$ (2) $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta}$ (3) $\tan^2\theta - \tan^2\theta\sin^2\theta - \sin^2\theta$

1. 問題の内容

以下の3つの三角関数の式をそれぞれ簡単にせよ。

(1) $(2\sin\theta + 3\cos\theta)^2 + (3\sin\theta - 2\cos\theta)^2$

(2) $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta}$

(3) $\tan^2\theta - \tan^2\theta\sin^2\theta - \sin^2\theta$

2. 解き方の手順

(1) 式を展開して整理する。

$(2\sin\theta + 3\cos\theta)^2 + (3\sin\theta - 2\cos\theta)^2 = (4\sin^2\theta + 12\sin\theta\cos\theta + 9\cos^2\theta) + (9\sin^2\theta - 12\sin\theta\cos\theta + 4\cos^2\theta)$

$= 13\sin^2\theta + 13\cos^2\theta$

$= 13(\sin^2\theta + \cos^2\theta)$

$= 13$

(2) 式を展開して整理する。三角関数の公式 $1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ を利用する。

$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta} = (1-\sin^2\theta) - \cos^2\theta$

$= \cos^2\theta - \cos^2\theta$

$= 0$

(3) 式を因数分解して整理する。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ であることを利用する。

$\tan^2\theta - \tan^2\theta\sin^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta(1-\sin^2\theta) - \sin^2\theta$

$= \tan^2\theta\cos^2\theta - \sin^2\theta$

$= \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\cos^2\theta - \sin^2\theta$

$= \sin^2\theta - \sin^2\theta$

$= 0$

3. 最終的な答え

(1) 13

(2) 0

(3) 0