$a$ を定数とする。以下の2つの不等式について考える。 不等式1: $3x + 5 > 5x - 1$ 不等式2: $5x + 2a > 4 - x$ (1) 不等式1を解け。 (2) 不等式1と2を同時に満たす整数が存在し、かつそれが自然数のみであるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。以下の2つの不等式について考える。

不等式1: $3x + 5 > 5x - 1$

不等式2: $5x + 2a > 4 - x$

(1) 不等式1を解け。

(2) 不等式1と2を同時に満たす整数が存在し、かつそれが自然数のみであるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式1を解く。

$3x + 5 > 5x - 1$

$-2x > -6$

$x < 3$

(2) 不等式2を解く。

$5x + 2a > 4 - x$

$6x > 4 - 2a$

$x > \frac{4 - 2a}{6} = \frac{2 - a}{3}$

不等式1と2を同時に満たす整数が存在し、かつそれが自然数のみであるとき、以下の条件を満たす必要がある。

$x$ は自然数なので、$x \ge 1$ である。

不等式1より $x < 3$ であるので、$x = 1, 2$ が解の候補である。

不等式2より $x > \frac{2-a}{3}$ である。

$x = 1$ を含むためには $\frac{2-a}{3} < 1$ である必要がある。

$2-a < 3$

$-a < 1$

$a > -1$

$x = 2$ を含むためには $\frac{2-a}{3} < 2$ である必要がある。

$2-a < 6$

$-a < 4$

$a > -4$

$x=3$ は不等式1を満たさないので、$\frac{2-a}{3} \ge 2$ であれば$x=1,2$のみが解になる。

$2-a \ge 6$

$-a \ge 4$

$a \le -4$

$x=0$を含まないためには$\frac{2-a}{3} \le 0$であれば良い。

$2-a \le 0$

$a \ge 2$

不等式を満たす整数が1, 2のみであるから、

$\frac{2-a}{3} < 1$ かつ $\frac{2-a}{3} \geq 0$ である必要がある。

$x=1$ が含まれる条件は $-1 < a$ である。

$x=3$ が含まれない条件は $a \le -4$ ではなく、$2 \le a$ である。

$x=0$ を含まない条件は $a \ge 2$ である。

もし $x=1$だけが解である場合、 $2 \le \frac{2-a}{3} < 1$ はありえない。なぜなら $\frac{2-a}{3}$が2以上ならば解が存在しない。

よって、$x=1, 2$の両方を含む場合を考える。

$1 \le x < 3$ であるから $x = 1, 2$。

$2 < \frac{2-a}{3} < 3$ であれば、$x=3$ を含まない。

$\frac{2-a}{3} \le 2$ であれば、$2-a \le 6$ であり $a \ge -4$。

$1 \le \frac{4-2a}{6} < 3$ というのはおかしい。

よって$\frac{2-a}{3}$ は１と２の間にあればよい。

$0 \le \frac{2-a}{3} < 1$

$0 \le 2-a < 3$

$-2 \le -a < 1$

$-1 < a \le 2$

$1<\frac{2-a}{3} \le 2$のとき、$3<2-a\le6$つまり、 $-4 \le a < -1$。

3. 最終的な答え

(1) $x < 3$

(2) $-4 \le a < -1$