(1) $f(x) = x^3 + 10x^2 + 20x$ とする。$f(n)$ が素数となるような整数 $n$ を全て求めよ。 (2) $a, b$ を整数の定数とし、$g(x) = x^3 + ax^2 + bx$ とする。$g(n)$ が素数となるような整数 $n$ の個数は3個以下であることを示せ。

1. 問題の内容

(1) $f(x) = x^3 + 10x^2 + 20x$ とする。$f(n)$ が素数となるような整数 $n$ を全て求めよ。

(2) $a, b$ を整数の定数とし、$g(x) = x^3 + ax^2 + bx$ とする。$g(n)$ が素数となるような整数 $n$ の個数は3個以下であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + 10x^2 + 20x = x(x^2 + 10x + 20)$ と因数分解できる。

$f(n)$ が素数となるためには、$x$ または $x^2+10x+20$ のどちらかが1である必要がある。

$f(n)$ が素数となるためには、$n$ は2以上の整数でなければならないので、$n$ が $1$ になることはない。

$n=1$ のとき、$f(1) = 1 + 10 + 20 = 31$ となり、素数である。

$n^2 + 10n + 20 = 1$ の場合を考える。

$n^2 + 10n + 19 = 0$

$n = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 4(19)}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{24}}{2} = -5 \pm \sqrt{6}$.

$n$ は整数なので、この場合は存在しない。

$x$ が素数であるためには、$x^2+10x+20 = 1$ であることが必要で、$x^2+10x+19=0$の解は整数ではないため、$x=1$のとき、$f(1)=31$が素数となる場合のみ考慮する。

したがって、$f(n) = n(n^2 + 10n + 20)$ が素数となるのは、$n=1$ のときのみである。

(2) $g(x) = x^3 + ax^2 + bx = x(x^2 + ax + b)$

$g(n)$ が素数となるためには、$n(n^2+an+b)$ の絶対値が素数になる必要がある。

$n$ が整数のとき、$n$ が $1$ または $-1$ である必要がある。

$n=1$ のとき、$g(1) = 1 + a + b$ が素数になる。

$n=-1$ のとき、$g(-1) = -1 + a - b$ が素数になる。

$n=k$ のとき、$g(k) = k(k^2+ak+b)$ が素数になる。

$n$ の個数が3個以下であることを示す。

$n$ が整数のとき、$n$ または $n^2+an+b$ のどちらかが $1$ または $-1$ でなければならない。

$n=1$ のとき、$g(1) = 1+a+b$

$n=-1$ のとき、$g(-1) = -1+a-b$

$n^2+an+b = 1$ を満たす $n$ は高々2つ

$n^2+an+b = -1$ を満たす $n$ は高々2つ

$n=0$ のとき、$g(0) = 0$ なので、素数ではない。

$g(n)$ が素数となるような $n$ は $x=1$と$x=-1$と$x=k$の3つと考えることができるが、$n^2+an+b=1$または$n^2+an+b=-1$の解が２つとなる場合があるため、$g(n)$ が素数となるような $n$ の個数は3個以下である。

3. 最終的な答え

(1) $n=1$

(2) $g(n)$ が素数となるような整数 $n$ の個数は3個以下である。