三角形ABCにおいて、$\angle ACB$は鈍角であり、$BC > AC$、$AB = 6$、$BC = 3\sqrt{2}$、$\sin{\angle ACB} = \frac{\sqrt{14}}{4}$である。 (1) $\sin{\angle BAC}$の値を求める。 (2) $\cos{\angle BAC}$の値を求め、辺ACの長さを求める。 (3) 辺AB上に$\angle ACD = 90^\circ$となる点Dをとるとき、線分CDの長さを求め、$\triangle BCD$の外接円の中心をOとするとき、四角形OCDBの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle ACB$は鈍角であり、$BC > AC$、$AB = 6$、$BC = 3\sqrt{2}$、$\sin{\angle ACB} = \frac{\sqrt{14}}{4}$である。

(1) $\sin{\angle BAC}$の値を求める。

(2) $\cos{\angle BAC}$の値を求め、辺ACの長さを求める。

(3) 辺AB上に$\angle ACD = 90^\circ$となる点Dをとるとき、線分CDの長さを求め、$\triangle BCD$の外接円の中心をOとするとき、四角形OCDBの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{AB}{\sin{\angle ACB}} = \frac{BC}{\sin{\angle BAC}}$が成り立つので、

$\sin{\angle BAC} = \frac{BC \sin{\angle ACB}}{AB} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}}{6} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}}{24} = \frac{3\sqrt{28}}{24} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{7}}{24} = \frac{6\sqrt{7}}{24} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos^2{\angle ACB} = 1 - \sin^2{\angle ACB} = 1 - (\frac{\sqrt{14}}{4})^2 = 1 - \frac{14}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

$\angle ACB$は鈍角なので、$\cos{\angle ACB} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

余弦定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cdot \cos{\angle ACB}$

$6^2 = AC^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2AC \cdot 3\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{4})$

$36 = AC^2 + 18 + 3AC$

$AC^2 + 3AC - 18 = 0$

$(AC + 6)(AC - 3) = 0$

$AC > 0$なので、$AC = 3$

$\cos{\angle BAC}$を求めるために、再度余弦定理を用いる。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$(3\sqrt{2})^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos{\angle BAC}$

$18 = 36 + 9 - 36\cos{\angle BAC}$

$36\cos{\angle BAC} = 27$

$\cos{\angle BAC} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$

(3) $\angle ACD = 90^\circ$であることから、$\triangle ACD$は直角三角形。

$\sin{\angle BAC} = \frac{\sqrt{7}}{4}$、$\cos{\angle BAC} = \frac{3}{4}$なので、$\tan{\angle BAC} = \frac{\sin{\angle BAC}}{\cos{\angle BAC}} = \frac{\sqrt{7}/4}{3/4} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

$\tan{\angle BAC} = \frac{CD}{AD}$なので、$CD = AD \cdot \frac{\sqrt{7}}{3}$

また、$\triangle ACD$で三平方の定理より、$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$3^2 = AD^2 + (AD \cdot \frac{\sqrt{7}}{3})^2 = AD^2 + AD^2 \cdot \frac{7}{9} = AD^2(1 + \frac{7}{9}) = \frac{16}{9}AD^2$

$AD^2 = \frac{81}{16}$

$AD = \frac{9}{4}$

$CD = \frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

$\triangle BCD$の外接円の中心Oは、斜辺BCの中点である。

$OB = OC = OD = \frac{BC}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

四角形OCDBは、$\triangle OCD$と$\triangle OBD$に分けられる。

$\triangle OCD$は$OC = OD$の二等辺三角形であり、$OB = OD$より、$\triangle OBD$も二等辺三角形である。

四角形OCDBの面積は、$S_{OCDB} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{4} \cdot (6 - \frac{9}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{15}{4} = \frac{45\sqrt{7}}{32}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\angle BAC} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos{\angle BAC} = \frac{3}{4}$、AC = 3

(3) CD = $\frac{3\sqrt{7}}{4}$、四角形OCDBの面積 = $\frac{45\sqrt{7}}{32}$