2点 $A(-1, 4)$ と $B(7, 0)$ を結ぶ線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $A(-1, 4)$ と $B(7, 0)$ を結ぶ線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、線分 $AB$ の中点を求めます。中点の座標は、各座標の平均を取ることで計算できます。

次に、線分 $AB$ の傾きを求めます。傾きは、2点間の $y$ 座標の差を $x$ 座標の差で割ることで計算できます。

垂直二等分線の傾きは、線分 $AB$ の傾きと掛けると -1 になるように求めます（垂直な直線の傾きの積は -1）。

最後に、中点の座標と垂直二等分線の傾きを使って、垂直二等分線の方程式を求めます。直線の方程式は $y = mx + b$ の形で表され、$m$ が傾き、$b$ が切片です。

(1) 線分 $AB$ の中点 $M$ の座標を計算します。

$M = \left( \frac{-1 + 7}{2}, \frac{4 + 0}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{4}{2} \right) = (3, 2)$

(2) 線分 $AB$ の傾き $m_{AB}$ を計算します。

$m_{AB} = \frac{0 - 4}{7 - (-1)} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

(3) 垂直二等分線の傾き $m_{\perp}$ を計算します。

$m_{\perp} \cdot m_{AB} = -1$ なので、$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$

(4) 垂直二等分線の方程式を求めます。傾きが $2$ で、点 $(3, 2)$ を通る直線の方程式は、

$y - 2 = 2(x - 3)$

$y - 2 = 2x - 6$

$y = 2x - 4$

3. 最終的な答え

$y = 2x - 4$