全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ の部分集合 $A, B$ について、以下の問いに答えます。 (1) $n(A) = 1$ を満たす集合 $A$ の総数を求めます。 (2) $n(B) = 2$ を満たす集合 $B$ の総数を求めます。 (3) $n(A) = 1$ かつ $n(B) = 2$ を満たす集合 $A, B$ の組 $(A, B)$ の総数を求めます。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ の部分集合 $A, B$ について、以下の問いに答えます。

(1) $n(A) = 1$ を満たす集合 $A$ の総数を求めます。

(2) $n(B) = 2$ を満たす集合 $B$ の総数を求めます。

(3) $n(A) = 1$ かつ $n(B) = 2$ を満たす集合 $A, B$ の組 $(A, B)$ の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $n(A) = 1$ のとき、集合 $A$ は $U$ の要素を1つだけ含む集合です。$A$ に含まれる要素の選び方は、$U$ の要素数である5個から1つを選ぶ組み合わせの数だけ存在します。

したがって、求める総数は $_5C_1$ で計算できます。

(2) $n(B) = 2$ のとき、集合 $B$ は $U$ の要素を2つだけ含む集合です。$B$ に含まれる要素の選び方は、$U$ の要素数である5個から2つを選ぶ組み合わせの数だけ存在します。

したがって、求める総数は $_5C_2$ で計算できます。

(3) $n(A) = 1$ かつ $n(B) = 2$ のとき、集合 $A$ は $U$ の要素を1つだけ含み、集合 $B$ は $U$ の要素を2つだけ含む必要があります。

まず、$A$ に含まれる要素を選びます。これは5通りの選び方があります。

次に、$B$ に含まれる要素を選びます。$A$ に含まれる要素が、$B$ に含まれるか、含まれないかで場合分けします。

(i) $A$ の要素が $B$ に含まれる場合：

$A$ に含まれる要素は1つ決まっているので、$B$ に含まれるもう1つの要素は、$A$ の要素以外の4つの要素から1つ選ぶ必要があります。選び方は $_4C_1 = 4$ 通りです。

(ii) $A$ の要素が $B$ に含まれない場合：

$B$ に含まれる2つの要素は、$A$ の要素以外の4つの要素から2つ選ぶ必要があります。選び方は $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

したがって、組 $(A, B)$ の総数は、$A$ の選び方が5通りで、それぞれの場合について$B$の選び方が (i) の場合4通り, (ii) の場合 6通りあります。しかし、(i) (ii)を同時に考慮することはできないので、以下の様に考えます。

まず集合 A を決めると 5通りあります。

次に集合 B を決めます。集合B の要素のうち、A の要素と一致するものがあるか無いかで場合分けします。

(i) 集合 B の要素の一つが集合 A の要素と一致するとき

Aの要素以外の4つの要素から残り一つを選びます。$_4C_1 = 4$ 通りです。

(ii) 集合 B の要素のどちらも集合 A の要素と一致しないとき

Aの要素以外の4つの要素から２つを選びます。$_4C_2 = 6$ 通りです。

したがって、求める組の総数は、 $5 \times (4+6) = 5 \times 10 = 50$ではありません。

まず、集合 A の要素を $a$ とします。次に、集合 B の要素を $b, c$ とします。

集合 A と集合 B が決まる組 $(A, B)$ の総数を求めるので

集合 A を決める 5通り

集合 B を決める $_{5}C_{2}$ = 10通り

ここで注意が必要なのが、 集合 B が $\{b, c\}$ と $\{c, b\}$ は同じであるので、この重複は考えません。

組 $(A, B)$ の総数を考えるので、 A と B が決まれば良いことになります。

A の要素 a と B の要素 b, c の関係性を考えます。

(i) a = b のとき A = {a} B = {a, x} (x ≠ a) このような集合Bは 4通り

(ii) a ≠ b かつ a ≠ c のとき A = {a} B = {x, y} (x ≠ a かつ y ≠ a)　　この様な集合Bは 6通り

以上より、$5 \times (4+6) = 50$ 通りではありません。

$A = \{a\}$ とします。

$B = \{a, x\}$ となる選び方は 4通りです。

$B = \{x, y\}$ (ただし $x \ne a, y \ne a$) となる選び方は $_4C_2 = 6$ 通りです。

したがって、組 $(A,B)$ の個数は $5 \times 4 = 20$ と $5 \times 6 = 30$ を足してはいけません。

集合 A, B が $\{1,2,3,4,5\}$ の部分集合であるので、A,B の全てのパターンは、Aを先に決めると5通り、Bを決めると10通りで $5 \times 10 = 50$ 通りあります。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 10

(3) 50