与えられた4つの式を計算する問題です。 (1) 絶対値の計算 (2) ルートとπを使った計算 (3) 分数の絶対値の計算 (4) 複素数の絶対値の計算

1. 問題の内容

与えられた4つの式を計算する問題です。

(1) 絶対値の計算

(2) ルートとπを使った計算

(3) 分数の絶対値の計算

(4) 複素数の絶対値の計算

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{20}$ は $\sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$ と変形できます。$\sqrt{5} \approx 2.236$ より、$2\sqrt{5} \approx 4.472$ です。したがって、$|\sqrt{20} - 2| = |2\sqrt{5} - 2| = 2\sqrt{5} - 2$ となります。

また、$|\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}$ です。

よって、$|\sqrt{20} - 2| + |\sqrt{5} - 3| = 2\sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 1$ となります。

(2)

$\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} + \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16} = \sqrt{(\pi - 3)^2} + \sqrt{(\pi - 4)^2} = |\pi - 3| + |\pi - 4|$

$\pi \approx 3.14$ より、$\pi - 3 > 0$ なので $|\pi - 3| = \pi - 3$ です。

$\pi - 4 < 0$ なので $|\pi - 4| = 4 - \pi$ です。

よって、$\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} + \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16} = \pi - 3 + 4 - \pi = 1$ となります。

(3)

$\left| \frac{\sqrt{5}-2}{-3+\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-3} \right| = \left| \frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)} \right| = \left| \frac{5 + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 6}{5 - 9} \right| = \left| \frac{\sqrt{5} - 1}{-4} \right| = \left| \frac{1 - \sqrt{5}}{4} \right| = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ となります。

なぜなら $\sqrt{5} \approx 2.236$ より $\sqrt{5} > 1$ なので $\sqrt{5}-1 >0$ となり、$1-\sqrt{5} < 0$　なので絶対値をはずすと符号が逆になります。

(4)

$|-2 + \sqrt{3}i| - |-\sqrt{6} - i| = \sqrt{(-2)^2 + (\sqrt{3})^2} - \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 3} - \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + 1$

(2) $1$

(3) $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

(4) $0$