関数 $f(x) = 4^x + a \cdot 2^{x+2} + 11a + 3$ について、以下の問いに答えます。 (1) $t = 2^x$ とおくとき、$t$ の値の取り得る範囲と、$y = f(x)$ を $t$ の式で表します。 (2) $y$ の最小値が $-17$ となるとき、$a$ の値を求めます。 (3) $x$ の方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^x + a \cdot 2^{x+2} + 11a + 3$ について、以下の問いに答えます。

(1) $t = 2^x$ とおくとき、$t$ の値の取り得る範囲と、$y = f(x)$ を $t$ の式で表します。

(2) $y$ の最小値が $-17$ となるとき、$a$ の値を求めます。

(3) $x$ の方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$t = 2^x$ なので、$t$ の取り得る範囲は $t > 0$ です。

$f(x) = (2^x)^2 + a \cdot 2^2 \cdot 2^x + 11a + 3 = (2^x)^2 + 4a \cdot 2^x + 11a + 3$

したがって、$y = f(x) = t^2 + 4at + 11a + 3$

(2)

$y = t^2 + 4at + 11a + 3 = (t + 2a)^2 - 4a^2 + 11a + 3$

$y$ の最小値は $-4a^2 + 11a + 3$ で、これが $-17$ に等しいので、

$-4a^2 + 11a + 3 = -17$

$4a^2 - 11a - 20 = 0$

$(4a + 5)(a - 4) = 0$

$a = -\frac{5}{4}, 4$

$t > 0$ で最小値をとる必要があるので、$t = -2a > 0$ より、$a < 0$ である必要がある。

したがって、$a = -\frac{5}{4}$

(3)

$f(x) = 0$ すなわち $y = 0$ となる $x$ が異なる2つの負の解を持つとき、

$t^2 + 4at + 11a + 3 = 0$ となる $t$ が $0 < t < 1$ の範囲に2つ存在する必要がある。

$t^2 + 4at + 11a + 3 = 0$ の2つの解を $t_1, t_2$ とすると、

解と係数の関係より、

$t_1 + t_2 = -4a$

$t_1 t_2 = 11a + 3$

$g(t) = t^2 + 4at + 11a + 3$ とおくと、

(i) 判別式 $D > 0$

$D/4 = (2a)^2 - (11a + 3) = 4a^2 - 11a - 3 > 0$

(ii) 軸 $0 < -2a < 1$

$-\frac{1}{2} < a < 0$

(iii) $g(0) > 0$

$g(0) = 11a + 3 > 0$

$a > -\frac{3}{11}$

(iv) $g(1) > 0$

$g(1) = 1 + 4a + 11a + 3 = 15a + 4 > 0$

$a > -\frac{4}{15}$

$4a^2 - 11a - 3 > 0$ より、

$a = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{8} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{8} = \frac{11 \pm 13}{8}$

$a < -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ または $a > \frac{24}{8} = 3$

$-\frac{1}{2} < a < 0$, $a > -\frac{3}{11}$, $a > -\frac{4}{15}$, $a < -\frac{1}{4}$ または $a > 3$ より、

$-\frac{3}{11} < a < -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) ア：0, イ：4, ウエ：11, オ：3

(2) カキ/ク：-5/4

(3) ケコ/サシ < a < スセ/ソ：-3/11 < a < -1/4