関数 $f(x) = 4^x + a \cdot 2^{x+2} + 11a + 3$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $t = 2^x$ とおくとき、$t$ の値のとり得る範囲を求め、 $y = f(x)$ として、$y$ を $t$ の式で表す。 (2) $y$ の最小値が $-17$ となるときの $a$ の値を求める。 (3) $x$ の方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの負の解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^x + a \cdot 2^{x+2} + 11a + 3$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $t = 2^x$ とおくとき、$t$ の値のとり得る範囲を求め、 $y = f(x)$ として、$y$ を $t$ の式で表す。

(2) $y$ の最小値が $-17$ となるときの $a$ の値を求める。

(3) $x$ の方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの負の解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = 2^x$ とおくと、$x$ が実数全体を動くとき、$t > 0$ である。

$f(x) = (2^x)^2 + a \cdot 2^2 \cdot 2^x + 11a + 3 = t^2 + 4at + 11a + 3$

よって、$y = t^2 + 4at + 11a + 3$

(2) $y = t^2 + 4at + 11a + 3 = (t + 2a)^2 - 4a^2 + 11a + 3$

$t > 0$ より、軸 $t = -2a$ の位置によって最小値が変わる。

(i) $-2a \leq 0$ つまり $a \geq 0$ のとき、$t=0$ で最小値をとる。

$y(0) = 11a + 3 = -17$ より、$11a = -20$ となるが、$a \geq 0$ に反する。

(ii) $-2a > 0$ つまり $a < 0$ のとき、$t=-2a$ で最小値をとる。

$y(-2a) = -4a^2 + 11a + 3 = -17$

$4a^2 - 11a - 20 = 0$

$(4a + 5)(a - 4) = 0$

$a = -\frac{5}{4}$ または $a = 4$

$a < 0$ より、$a = -\frac{5}{4}$

(3) $f(x) = 0$ つまり $t^2 + 4at + 11a + 3 = 0$ が異なる2つの正の解 $t_1, t_2$ を持つとき、$x$ の方程式 $f(x) = 0$ は異なる2つの実数解 $x_1 = \log_2 t_1$, $x_2 = \log_2 t_2$ を持つ。

$x_1, x_2$ が共に負となる条件は $0 < t_1 < 1$ かつ $0 < t_2 < 1$ となることである。

$t^2 + 4at + 11a + 3 = 0$ の2つの解を $t_1, t_2$ とすると、

$t_1 + t_2 = -4a$

$t_1 t_2 = 11a + 3$

条件は

(i) 判別式 $D/4 = (2a)^2 - (11a + 3) = 4a^2 - 11a - 3 > 0$

(ii) $0 < t_1 + t_2 < 2$

(iii) $0 < t_1 t_2 < 1$

(i) $4a^2 - 11a - 3 > 0$

$a = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{8} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{8} = \frac{11 \pm 13}{8}$

$a < -\frac{1}{4}$ または $a > 3$

(ii) $0 < -4a < 2$

$-2 < 4a < 0$

$-\frac{1}{2} < a < 0$

(iii) $0 < 11a + 3 < 1$

$-3 < 11a < -2$

$-\frac{3}{11} < a < -\frac{2}{11}$

(i), (ii), (iii) を満たす範囲は $-\frac{3}{11} < a < -\frac{2}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $t > 0$, $y = t^2 + 4at + 11a + 3$

(2) $a = -\frac{5}{4}$

(3) $-\frac{3}{11} < a < -\frac{2}{11}$