与えられた方程式 $|x+1| + |x-1| = 2x + 8$ を解いて、$x$の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $|x+1| + |x-1| = 2x + 8$ を解いて、$x$の値を求めます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式なので、場合分けをして考えます。

(1) $x < -1$ のとき

$x+1 < 0$ かつ $x-1 < 0$ なので、

$|x+1| = -(x+1)$、 $|x-1| = -(x-1)$ となります。

したがって、方程式は

$-(x+1) - (x-1) = 2x+8$

$-x - 1 - x + 1 = 2x + 8$

$-2x = 2x+8$

$-4x = 8$

$x = -2$

$x = -2$ は $x < -1$ を満たすので、解の候補となります。

(2) $-1 \leq x < 1$ のとき

$x+1 \geq 0$ かつ $x-1 < 0$ なので、

$|x+1| = x+1$、 $|x-1| = -(x-1)$ となります。

したがって、方程式は

$(x+1) - (x-1) = 2x+8$

$x+1 - x + 1 = 2x+8$

$2 = 2x+8$

$-6 = 2x$

$x = -3$

$x = -3$ は $-1 \leq x < 1$ を満たさないので、解ではありません。

(3) $x \geq 1$ のとき

$x+1 > 0$ かつ $x-1 \geq 0$ なので、

$|x+1| = x+1$、 $|x-1| = x-1$ となります。

したがって、方程式は

$(x+1) + (x-1) = 2x+8$

$x+1 + x-1 = 2x+8$

$2x = 2x+8$

$0 = 8$

これは矛盾しているので、この範囲に解はありません。

(4) 解の確認

$x = -2$を元の方程式に代入して確認します。

$|-2+1| + |-2-1| = 2(-2)+8$

$|-1| + |-3| = -4+8$

$1 + 3 = 4$

$4 = 4$

$x=-2$は方程式を満たします。

3. 最終的な答え

$x = -2$