関数 $f(x) = 4^x + a \cdot 2^{x+2} + 11a + 3$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $t = 2^x$ とおくとき、$t$ の値の取り得る範囲を求め、また $y = f(x)$ として、$y$ を $t$ の式で表す。 (2) $y$ の最小値が -17 となるときの $a$ の値を求める。 (3) 方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの負の解を持つときの定数 $a$ の値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。問題と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^x + a \cdot 2^{x+2} + 11a + 3$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $t = 2^x$ とおくとき、$t$ の値の取り得る範囲を求め、また $y = f(x)$ として、$y$ を $t$ の式で表す。

(2) $y$ の最小値が -17 となるときの $a$ の値を求める。

(3) 方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの負の解を持つときの定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$t = 2^x$ より、$x$ が実数全体を動くとき、$t$ の取り得る範囲は $t > 0$ となります。

$f(x) = 4^x + a \cdot 2^{x+2} + 11a + 3 = (2^x)^2 + 4a \cdot 2^x + 11a + 3$ であるので、

$y = t^2 + 4at + 11a + 3$ となります。

(2)

$y = t^2 + 4at + 11a + 3 = (t + 2a)^2 - 4a^2 + 11a + 3$

$t > 0$ であることに注意すると、$y$ の最小値は、

(i) $-2a \leq 0$、つまり $a \geq 0$ のとき、$t = 0$ で最小値 $y = 11a + 3$ をとります。

このとき、$11a + 3 = -17$ より、$11a = -20$ となり、$a = -\frac{20}{11}$ となりますが、$a \geq 0$ に矛盾します。

(ii) $-2a > 0$、つまり $a < 0$ のとき、$t = -2a$ で最小値 $y = -4a^2 + 11a + 3$ をとります。

このとき、$-4a^2 + 11a + 3 = -17$ より、$4a^2 - 11a - 20 = 0$ となります。

これを解くと、$a = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 320}}{8} = \frac{11 \pm \sqrt{441}}{8} = \frac{11 \pm 21}{8}$ となります。

$a = \frac{32}{8} = 4$ または $a = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$ となります。

$a < 0$ より、$a = -\frac{5}{4}$ となります。

(3)

$f(x) = 0$ は $(2^x)^2 + 4a \cdot 2^x + 11a + 3 = 0$ であり、$t = 2^x$ とすると、

$t^2 + 4at + 11a + 3 = 0$ となります。この2次方程式が異なる2つの正の解を持つ条件を考えます。

$g(t) = t^2 + 4at + 11a + 3$ とすると、

(i) 判別式 $D > 0$

$D/4 = (2a)^2 - (11a + 3) = 4a^2 - 11a - 3 > 0$

$a = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{8} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{8} = \frac{11 \pm 13}{8}$

$a < \frac{11 - 13}{8} = -\frac{1}{4}$ または $a > \frac{11 + 13}{8} = 3$

(ii) 軸 $-2a > 0$ より、$a < 0$

(iii) $g(0) > 0$ より、$11a + 3 > 0$、$a > -\frac{3}{11}$

以上より、$-\frac{3}{11} < a < -\frac{1}{4}$ となります。

$x < 0$ のとき、$0 < t < 1$ なので、異なる二つの解は $0 < t_1 < 1$ かつ $0 < t_2 < 1$ を満たす必要があります。

このとき、解と係数の関係から、$0 < t_1 + t_2 = -4a < 2$ つまり $-1/2 < a < 0$ かつ $0 < t_1 t_2 = 11a+3 < 1$ つまり $-3/11 < a < -2/11$。

2つの解が共に0と1の間にある条件から、 $-\frac{3}{11} < a < -\frac{1}{4}$ でなくてはいけません。

3. 最終的な答え

(1) ア: 0, イ: 4, ウエ: 11, オ: 3

(2) ク: -5/4

(3) ケコ: -3/11, サシ: -1/4