$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\cos\theta + \sin\theta = \frac{1}{2}$ が与えられています。 このとき、以下の値を求めます。 (1) $\sin\theta$ (2) $\cos\theta$ (3) $\tan\theta$

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\cos\theta + \sin\theta = \frac{1}{2}$ が与えられています。

このとき、以下の値を求めます。

(1) $\sin\theta$

(2) $\cos\theta$

(3) $\tan\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta$ の値を求める

与えられた式 $\cos\theta + \sin\theta = \frac{1}{2}$ を 2 乗します。

$(\cos\theta + \sin\theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\cos^2\theta + 2\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta = \frac{1}{4}$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ であるから

$1 + 2\cos\theta\sin\theta = \frac{1}{4}$

$2\cos\theta\sin\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\cos\theta\sin\theta = -\frac{3}{8}$

$\cos\theta + \sin\theta = \frac{1}{2}$ より $\cos\theta = \frac{1}{2} - \sin\theta$ であるから、これを $\cos\theta\sin\theta = -\frac{3}{8}$ に代入します。

$(\frac{1}{2} - \sin\theta)\sin\theta = -\frac{3}{8}$

$\frac{1}{2}\sin\theta - \sin^2\theta = -\frac{3}{8}$

$4\sin\theta - 8\sin^2\theta = -3$

$8\sin^2\theta - 4\sin\theta - 3 = 0$

この $\sin\theta$ についての2次方程式を解きます。

$\sin\theta = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(8)(-3)}}{2(8)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 96}}{16} = \frac{4 \pm \sqrt{112}}{16} = \frac{4 \pm 4\sqrt{7}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{4}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より、$\sin\theta \geq 0$ であるから、$\sin\theta = \frac{1+\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos\theta$ の値を求める

$\cos\theta = \frac{1}{2} - \sin\theta = \frac{1}{2} - \frac{1+\sqrt{7}}{4} = \frac{2 - (1+\sqrt{7})}{4} = \frac{1 - \sqrt{7}}{4}$

(3) $\tan\theta$ の値を求める

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{1+\sqrt{7}}{4}}{\frac{1-\sqrt{7}}{4}} = \frac{1+\sqrt{7}}{1-\sqrt{7}} = \frac{(1+\sqrt{7})^2}{(1-\sqrt{7})(1+\sqrt{7})} = \frac{1 + 2\sqrt{7} + 7}{1-7} = \frac{8 + 2\sqrt{7}}{-6} = \frac{4 + \sqrt{7}}{-3} = -\frac{4+\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta = \frac{1+\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos\theta = \frac{1-\sqrt{7}}{4}$

(3) $\tan\theta = -\frac{4+\sqrt{7}}{3}$