与えられた方程式を満たす正の整数の組 (x, y) をすべて求める問題です。 (1) $x^2 - y^2 = 2009$ (2) $x^2 - xy + y^2 - 3y = 0$

1. 問題の内容

与えられた方程式を満たす正の整数の組 (x, y) をすべて求める問題です。

(1) $x^2 - y^2 = 2009$

(2) $x^2 - xy + y^2 - 3y = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - y^2 = 2009$ を因数分解します。

$(x+y)(x-y) = 2009$

2009 を素因数分解すると $2009 = 7^2 \times 41$ です。

$2009$ の約数は $1, 7, 41, 49, 287, 2009$ です。

$x+y$ と $x-y$ の積が 2009 であり、$x$ と $y$ は正の整数なので、$x+y > x-y$ であることに注意します。

以下の組み合わせが考えられます。

(a) $x+y = 2009$, $x-y = 1$

(b) $x+y = 287$, $x-y = 7$

(c) $x+y = 49$, $x-y = 41$

(a) の場合:

$x+y = 2009$

$x-y = 1$

この2式を足すと $2x = 2010$ となり、$x = 1005$ が得られます。

$y = x-1 = 1005 - 1 = 1004$

(b) の場合:

$x+y = 287$

$x-y = 7$

この2式を足すと $2x = 294$ となり、$x = 147$ が得られます。

$y = x-7 = 147 - 7 = 140$

(c) の場合:

$x+y = 49$

$x-y = 41$

この2式を足すと $2x = 90$ となり、$x = 45$ が得られます。

$y = x-41 = 45 - 41 = 4$

(2) $x^2 - xy + y^2 - 3y = 0$ を変形します。

$x^2 - xy + y^2 = 3y$

$x$ について解くと、2次方程式になります。

$x^2 -yx + y^2 - 3y = 0$

解の公式を用いて $x$ を求めます。

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4(y^2 - 3y)}}{2} = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4y^2 + 12y}}{2} = \frac{y \pm \sqrt{-3y^2 + 12y}}{2}$

$x$ が実数となるためには、根号の中が0以上である必要があります。

$-3y^2 + 12y \geq 0$

$3y^2 - 12y \leq 0$

$3y(y - 4) \leq 0$

$0 \leq y \leq 4$

$y$ は正の整数なので、$y = 1, 2, 3, 4$ となります。

$y = 1$ のとき:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{-3 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$

$x = \frac{1+3}{2} = 2$ or $x = \frac{1-3}{2} = -1$

$x$ は正の整数なので、$x = 2$

$y = 2$ のとき:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{-3(4) + 12(2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12 + 24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

$x$ は整数ではないので、不適。

$y = 3$ のとき:

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-3(9) + 12(3)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-27 + 36}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{3 \pm 3}{2}$

$x = \frac{3+3}{2} = 3$ or $x = \frac{3-3}{2} = 0$

$x$ は正の整数なので、$x = 3$

$y = 4$ のとき:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{-3(16) + 12(4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-48 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 0}{2} = 2$

$x = 2$

3. 最終的な答え

(1) (x, y) = (1005, 1004), (147, 140), (45, 4)

(2) (x, y) = (2, 1), (3, 3), (2, 4)