与えられた数列に関する以下の問題を解きます。 (1) 初項が-6, 第9項が10である等差数列の一般項 $a_n$ と、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。 (2) 第3項が20, 第8項が15である等差数列の一般項 $a_n$ と、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。 (3) 第15項が-3, 第35項が37である等差数列において、17は何項目か求めます。 (4) 等差数列の初項から第$n$項までの和 $S_n$ を最小にする $n$ と、そのときの $S_n$ を求めます。 (5) 初項が-2, 第6項が-64である等比数列の一般項 $a_n$ と、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。 (6) 第2項が108, 第5項が-4である等比数列の一般項 $a_n$ と、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。 (7) 第2項が4, 第3項までの和が-6となる等比数列の一般項を求めます。 (8) 数列 $a_1, a_2, a_3, a_4$ があり、$a_1, a_2, a_3$ がこの順に等比数列をなし、その和が38である。また、$a_2, a_3, a_4$ がこの順に等差数列をなし、その和が24である。このとき、$a_1, a_2, a_3, a_4$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列に関する以下の問題を解きます。

(1) 初項が-6, 第9項が10である等差数列の一般項 $a_n$ と、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。

(2) 第3項が20, 第8項が15である等差数列の一般項 $a_n$ と、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。

(3) 第15項が-3, 第35項が37である等差数列において、17は何項目か求めます。

(4) 等差数列の初項から第$n$項までの和 $S_n$ を最小にする $n$ と、そのときの $S_n$ を求めます。

(5) 初項が-2, 第6項が-64である等比数列の一般項 $a_n$ と、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。

(6) 第2項が108, 第5項が-4である等比数列の一般項 $a_n$ と、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。

(7) 第2項が4, 第3項までの和が-6となる等比数列の一般項を求めます。

(8) 数列 $a_1, a_2, a_3, a_4$ があり、$a_1, a_2, a_3$ がこの順に等比数列をなし、その和が38である。また、$a_2, a_3, a_4$ がこの順に等差数列をなし、その和が24である。このとき、$a_1, a_2, a_3, a_4$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ であり、初項から第$n$項までの和は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ です。

初項 $a_1 = -6$ であり、第9項 $a_9 = a_1 + 8d = -6 + 8d = 10$ なので、$8d = 16$ より $d=2$。

したがって、$a_n = -6 + (n-1)2 = 2n - 8$。

$S_n = \frac{n}{2}(-6 + 2n - 8) = \frac{n}{2}(2n - 14) = n(n-7) = n^2 - 7n$。

(2) 等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ です。

第3項 $a_3 = a_1 + 2d = 20$

第8項 $a_8 = a_1 + 7d = 15$

$a_8 - a_3 = 5d = -5$ より、$d = -1$。

$a_1 + 2(-1) = 20$ より、$a_1 = 22$。

したがって、$a_n = 22 + (n-1)(-1) = 23 - n$。

$S_n = \frac{n}{2}(22 + 23 - n) = \frac{n}{2}(45 - n)$。

(3) 等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ です。

第15項 $a_{15} = a_1 + 14d = -3$

第35項 $a_{35} = a_1 + 34d = 37$

$a_{35} - a_{15} = 20d = 40$ より、$d=2$。

$a_1 + 14(2) = -3$ より、$a_1 = -3 - 28 = -31$。

$a_n = -31 + (n-1)2 = 2n - 33$。

$2n - 33 = 17$ を解くと、$2n = 50$, $n=25$。

(4) $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。

$a_1 = -31$, $d = 2$ より、$S_n = \frac{n}{2}(2(-31) + (n-1)2) = \frac{n}{2}(-62 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n - 64) = n(n-32) = n^2 - 32n = (n - 16)^2 - 256$。

$n=16$ のとき、$S_n$ は最小値 -256 をとります。

(5) 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ であり、初項から第$n$項までの和は $S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1-r}$ です。

初項 $a_1 = -2$ であり、第6項 $a_6 = a_1 r^5 = -2r^5 = -64$ なので、$r^5 = 32$ より $r = 2$。

$a_n = -2(2^{n-1}) = -2^n$。

$S_n = \frac{-2(1 - 2^n)}{1 - 2} = 2(1 - 2^n) = 2 - 2^{n+1}$。

(6) 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ です。

第2項 $a_2 = a_1 r = 108$

第5項 $a_5 = a_1 r^4 = -4$

$\frac{a_5}{a_2} = r^3 = \frac{-4}{108} = -\frac{1}{27}$ より、$r = -\frac{1}{3}$。

$a_1(-\frac{1}{3}) = 108$ より、$a_1 = -324$。

$a_n = -324(-\frac{1}{3})^{n-1}$。

$S_n = \frac{-324(1 - (-\frac{1}{3})^n)}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-324(1 - (-\frac{1}{3})^n)}{\frac{4}{3}} = -243(1 - (-\frac{1}{3})^n)$。

(7) 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ です。

第2項 $a_2 = a_1 r = 4$。

第3項までの和 $S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 = -6$。

$a_1 r = 4$ より、$a_1 = \frac{4}{r}$。

$\frac{4}{r} + 4 + \frac{4}{r}r^2 = -6$

$\frac{4}{r} + 4 + 4r = -6$

$\frac{4}{r} + 4r = -10$

$4 + 4r^2 = -10r$

$4r^2 + 10r + 4 = 0$

$2r^2 + 5r + 2 = 0$

$(2r + 1)(r + 2) = 0$

$r = -\frac{1}{2}$ または $r = -2$。

$r = -\frac{1}{2}$ のとき、$a_1 = \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -8$。

$r = -2$ のとき、$a_1 = \frac{4}{-2} = -2$。

$a_n = -8(-\frac{1}{2})^{n-1} = -8(-1)^{n-1}(\frac{1}{2})^{n-1} = (-1)^n 2^{4-n}$

または

$a_n = -2(-2)^{n-1} = (-1)^n 2^n$

(8) $a_1, a_2, a_3$ が等比数列なので、$a_2 = a_1r, a_3 = a_1r^2$。

$a_1 + a_2 + a_3 = a_1(1+r+r^2) = 38$。

$a_2, a_3, a_4$ が等差数列なので、$2a_3 = a_2 + a_4$。

$a_2 + a_3 + a_4 = 24$。

$a_2 + a_4 = 24 - a_3$。

$2a_3 = 24 - a_3$。

$3a_3 = 24$。

$a_3 = 8$。

$a_3 = a_1 r^2 = 8$。

$a_1 = \frac{8}{r^2}$。

$\frac{8}{r^2}(1+r+r^2) = 38$。

$8 + 8r + 8r^2 = 38r^2$

$30r^2 - 8r - 8 = 0$

$15r^2 - 4r - 4 = 0$

$(3r - 2)(5r + 2) = 0$

$r = \frac{2}{3}$ または $r = -\frac{2}{5}$。

$r = \frac{2}{3}$ のとき、$a_1 = \frac{8}{(\frac{2}{3})^2} = \frac{8}{\frac{4}{9}} = 18$。

$a_2 = a_1 r = 18 \times \frac{2}{3} = 12$。

$2a_3 = a_2 + a_4$ より、$16 = 12 + a_4$。

$a_4 = 4$。

$r = -\frac{2}{5}$ のとき、$a_1 = \frac{8}{(-\frac{2}{5})^2} = \frac{8}{\frac{4}{25}} = 50$。

$a_2 = a_1 r = 50 \times (-\frac{2}{5}) = -20$。

$2a_3 = a_2 + a_4$ より、$16 = -20 + a_4$。

$a_4 = 36$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n - 8$, $S_n = n^2 - 7n$

(2) $a_n = 23 - n$, $S_n = \frac{n}{2}(45 - n)$

(3) 25項目

(4) $n = 16$, $S_{16} = -256$

(5) $a_n = -2^n$, $S_n = 2 - 2^{n+1}$

(6) $a_n = -324(-\frac{1}{3})^{n-1}$, $S_n = -243(1 - (-\frac{1}{3})^n)$

(7) $a_n = (-1)^n 2^{4-n}$ または $a_n = (-1)^n 2^n$

(8) $a_1 = 18, a_2 = 12, a_3 = 8, a_4 = 4$ または $a_1 = 50, a_2 = -20, a_3 = 8, a_4 = 36$