問題は、与えられた集合$A, B, C, D$に対して、以下の2つの命題がそれぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかのいずれかを答える問題です。 * $x \in B \cap \overline{D}$は、$x \in \overline{A}$であるためのア。 * $x \in (\overline{A \cup B}) \cap D$は、$x \in C$であるためのイ。

1. 問題の内容

問題は、与えられた集合$A, B, C, D$に対して、以下の2つの命題がそれぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかのいずれかを答える問題です。

* $x \in B \cap \overline{D}$は、$x \in \overline{A}$であるためのア。

* $x \in (\overline{A \cup B}) \cap D$は、$x \in C$であるためのイ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた集合を整理します。

* $A = \{x | x^2 \ge 4\} = \{x | x \le -2 \text{ or } x \ge 2\}$

* $B = \{x | 1 \le x \le 2\}$

* $C = \{1, 2\}$

* $D = \{-4, -2, 1, 2\}$

次に、補集合を求めます。

* $\overline{A} = \{x | -2 < x < 2\}$

* $\overline{D} = \{x | x \neq -4, -2, 1, 2\}$

(ア)について考えます。

$x \in B \cap \overline{D}$ということは、$x \in B$かつ$x \in \overline{D}$なので、$1 \le x \le 2$かつ$x \neq -4, -2, 1, 2$ということになります。

つまり、$1 \le x \le 2$かつ$x \neq 1, 2$となり、$1 < x < 2$です。

このとき、$x \in \overline{A}$ ($-2 < x < 2$) は成り立ちます。

しかし、$x \in \overline{A}$でも$x = 0$のとき、$x \notin B \cap \overline{D}$なので、$x \in B \cap \overline{D}$は、$x \in \overline{A}$であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。したがって、選択肢の①が当てはまります。

(イ)について考えます。

まず、$A \cup B = \{x | x \le -2 \text{ or } x \ge 1\}$なので、$\overline{A \cup B} = \{x | -2 < x < 1\}$です。

$x \in (\overline{A \cup B}) \cap D$ということは、$x \in \overline{A \cup B}$かつ$x \in D$なので、$-2 < x < 1$かつ$x = -4, -2, 1, 2$のいずれかです。

したがって、$x = -2, 1$のいずれかです。

もし、$x \in (\overline{A \cup B}) \cap D$ならば、$x \in \{-2, 1 \}$であり、これは$x \in C = \{1, 2\}$であるための必要条件でも十分条件でもありません。必要条件でも十分条件でもないので、選択肢③が当てはまります。

3. 最終的な答え

ア: ①

イ: ③