全体集合を実数全体$U$とする。集合$A$, $B$, $C$について、$A = \{x \mid -2 \le x < 4\}$, $B = \{x \mid -5 < x \le 3\}$, $C = \overline{A} \cup B$であるとき、以下の集合を求める。 (1) $C$ (2) $A \cap C$

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

全体集合を実数全体$U$とする。集合$A$, $B$, $C$について、$A = \{x \mid -2 \le x < 4\}$, $B = \{x \mid -5 < x \le 3\}$, $C = \overline{A} \cup B$であるとき、以下の集合を求める。

(1) $C$

(2) $A \cap C$

2. 解き方の手順

(1) 集合$C$を求める。$C = \overline{A} \cup B$であるから、まず$\overline{A}$を求める。

$A = \{x \mid -2 \le x < 4\}$なので、$\overline{A} = \{x \mid x < -2 \text{ or } x \ge 4\}$となる。

よって、$C = \overline{A} \cup B = \{x \mid x < -2 \text{ or } x \ge 4\} \cup \{x \mid -5 < x \le 3\} = \{x \mid x \le 3 \text{ or } x \ge 4 \text{ or } -5 < x <-2\}$ となる。

数直線で考えると、$\overline{A}$は、$x < -2$ または $x \ge 4$ の範囲を表し、$B$は、$-5 < x \le 3$ の範囲を表す。これらの和集合を取ると、$-5 < x \le 3$ または $x \ge 4$ となる。

(2) 集合$A \cap C$を求める。

$A = \{x \mid -2 \le x < 4\}$であり、$C = \{x \mid -5 < x \le 3 \text{ or } x \ge 4\}$であった。

$A \cap C$ は、$A$と$C$の両方に含まれる要素の集合である。

$A \cap C = \{x \mid -2 \le x < 4\} \cap \{x \mid -5 < x \le 3 \text{ or } x \ge 4\} = \{x \mid -2 \le x \le 3\}$

3. 最終的な答え

(1) $C = \{x \mid -5 < x \le 3 \text{ or } x \ge 4\}$

(2) $A \cap C = \{x \mid -2 \le x \le 3\}$