全体集合 $U$、集合 $A$、集合 $B$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$ と $\overline{A \cup B}$ を求める。 ここで、 $U = \{x \mid xは10より小さい自然数\}$ $A = \{2x \mid x=1,2,3,4\}$ $B = \{3x \mid x=1,2\}$ である。

1. 問題の内容

全体集合 $U$、集合 $A$、集合 $B$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$ と $\overline{A \cup B}$ を求める。

ここで、

$U = \{x \mid xは10より小さい自然数\}$

$A = \{2x \mid x=1,2,3,4\}$

$B = \{3x \mid x=1,2\}$

である。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの集合の要素を具体的に書き出す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

$A = \{2, 4, 6, 8\}$

$B = \{3, 6\}$

次に、$\overline{A}$ (Aの補集合) を求める。$\overline{A}$ は $U$ に含まれる要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分) を求める。これは $\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cap B = \{3\}$

次に、$A \cup B$ (AとBの和集合) を求める。これは $A$ または $B$ に含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8\}$

最後に、$\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合) を求める。これは $U$ に含まれる要素のうち、$A \cup B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 9\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap B = \{3\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 9\}$