全体集合 $U$、集合 $A$、集合 $B$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ を求めなさい。 $U = \{x \mid x \text{は10より小さい自然数}\}$ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ $B = \{2, 4, 6, 8\}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$、集合 $A$、集合 $B$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ を求めなさい。

$U = \{x \mid x \text{は10より小さい自然数}\}$

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

$B = \{2, 4, 6, 8\}$

2. 解き方の手順

まず、$U$ の要素を書き出す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

次に、$A$ の補集合 $\overline{A}$ を求める。$\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = \{7, 8, 9\}$

$\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cap B = \{8\}$

次に、$B$ の補集合 $\overline{B}$ を求める。$\overline{B}$ は $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$A \cup \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ のどちらかに含まれる要素の集合である。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap B = \{8\}$

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$