7枚のカード（数字1から7が一つずつ書かれている）が入った箱からカードを1枚ずつ取り出し、左から順に一列に並べる。ただし、取り出したカードは箱に戻さない。並べたカードの数字が直前の数字より小さいとき取り出すのをやめる。取り出したカードの枚数を $N$ とする。 (1) $N=2$ となる取り出し方の総数、 $N=5$ となる取り出し方の総数、 $N=7$ となる取り出し方の総数、取り出し方の総数が最大となる $N$ の値を求める。 (2) $N=3$ のとき、並べたカードの数字を $a, b, c$ とする。積 $abc$ が3の倍数となる取り出し方の総数、和 $a+b+c$ が3の倍数となる取り出し方の総数を求める。

1. 問題の内容

7枚のカード（数字1から7が一つずつ書かれている）が入った箱からカードを1枚ずつ取り出し、左から順に一列に並べる。ただし、取り出したカードは箱に戻さない。並べたカードの数字が直前の数字より小さいとき取り出すのをやめる。取り出したカードの枚数を $N$ とする。

(1) $N=2$ となる取り出し方の総数、 $N=5$ となる取り出し方の総数、 $N=7$ となる取り出し方の総数、取り出し方の総数が最大となる $N$ の値を求める。

(2) $N=3$ のとき、並べたカードの数字を $a, b, c$ とする。積 $abc$ が3の倍数となる取り出し方の総数、和 $a+b+c$ が3の倍数となる取り出し方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$N=2$ となるのは、2枚目に小さい数が出たときである。1枚目の数字が $i$ のとき、2枚目は $1, 2, \dots, i-1$ の $(i-1)$ 通りの数字を選ぶことができる。したがって、$N=2$ となる取り出し方は、

$\sum_{i=2}^{7} (i-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ 通り。よって、アは $a_2$ 、イウは21。

$N=5$ となるには、1から4枚目は数が大きくなり、5枚目で数が小さくなる必要がある。$a_5$ が $N=5$ となるための最大値となる。$a_5=k$ とすると、$k$は残っている数字の中で最大である必要がある。

まず、1から7の数字から５つを選ぶ組み合わせは ${}_7 C_5 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$通り。

５つの数字を選んだとき、最大数を $a_5$ とする。残りの４つの数字から、どれか一つを4回目に取り出す数を決定する。４回目に決めた数より小さい数を並べる順番は一意に決まる。よって、$a_5$ を決めた後、残りの4つの数から1つを選ぶ方法を考える。

よって、エは $a_5$ 、オは $a_4$。

$N=7$ となるのは、7枚すべて取り出す場合なので、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 の順列で、常に直後の数が大きい場合のみなので、全体が昇順に並んでいる場合のみ。

$1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7$ となる1通り。よってクは1。

取り出し方の総数が最も大きいのは、各 $N$ についての取り出し方の総数を考える必要がある。

$N=1$ となるのは、1回目にやめる場合なので、1枚目が1から7のどれかの7通り。

$N=2$は21通り。

$N=3$も求める必要があるので後述する。

$N=4,5,6,7$ についても同様に求めると、$N$ が小さい方が大きくなる可能性がある。ここでは推測する。

$N=1$のとき7通り、$N=2$のとき21通り。

よってケは2。

(2) $N=3$ のとき、積 $abc$ が3の倍数となるのは、$a, b, c$ のいずれかが3または6のとき。

3つとも3の倍数でない場合を考える。1, 2, 4, 5, 7の5つの数字から3つを選ぶ。これは ${}_5 C_3 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

すべての選び方は、${}_7 P_3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$通り。

したがって、積が3の倍数となるのは、$210 - 10 \times 3! = 210 - 60 = 150$通り。

ただし、取り出す順番を考慮する必要があり、積の計算では順番は関係ないので、150通り。

よってコサは15。

和 $a+b+c$ が3の倍数となるのは、$a, b, c$ を3で割った余りがすべて同じか、すべて異なるとき。

3で割った余りが0になるのは3, 6の2つ。

3で割った余りが1になるのは1, 4, 7の3つ。

3で割った余りが2になるのは2, 5の2つ。

すべて同じになるのは、(1, 4, 7)を選ぶ場合のみで、3! = 6通り。

すべて異なるのは、$2 \times 3 \times 2 = 12$通り選び、順番を考慮すると、$12 \times 3! = 12 \times 6 = 72$通り。

合計 $6+72 = 78$通り。

3. 最終的な答え

(1) ア: $a_2$, イウ: 21, エ: $a_5$, オ: $a_4$, カキ:未解答、ク: 1, ケ: 2

(2) コサ: 150, シス: 78